Παρατηρήσεις και θεώρημα Kuhn-Tucker

Ν. Λυγερός




Για μια καλύτερη κατανόηση των παρατηρήσεών μας, διατυπώνουμε το θεώρημα Kuhn-Tucker. Εάν το διάνυσμα ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση , με τους περιορισμούς , και εφόσον ισχύει η ιδιότητα των περιορισμών, τότε υπάρχει διάνυσμα τέτοιο ώστε: και .



Η πρώτη παρατήρηση αφορά την ιδιότητα των περιορισμών. Εφόσον υπάρχει η απόδειξη του θεωρήματος των αναγκαίων συνθηκών αντιστοιχεί με την απόδειξη της γραμμικής περίπτωσης.

Η δεύτερη παρατήρηση αφορά την αναγκαιότητα των συνθηκών. Οι συνθήκες είναι μόνο αναγκαίες και όχι απαραίτητα ικανές, άρα δεν εξασφαλίζουν την ύπαρξη ελαχίστου. Απλώς επισημαίνουν την ύπαρξη καλών υποψήφιων σημείων, πράγμα που όντως αποτελεί μια δυσκολία. Επιπλέον, ενώ στη γραμμική περίπτωση οι συνθήκες είναι αναγκαίες και ικανές για ολικό ελάχιστο, εδώ είναι αναγκαίες μόνο για τοπικό ελάχιστο. Στην ουσία, αυτό εξηγείται από την τοπική προσέγγιση του προβλήματος για να μεταφερθεί η δομή της γραμμικής περίπτωσης.



Όμως η πιο σημαντική παρατήρηση είναι η εξής: Oι συνθήκες του θεωρήματος χωρίς την ιδιότητα των περιορισμών δεν ισχύουν για όλες τις περιπτώσεις. Υπάρχουν εξαιρέσεις οι οποίες καλύπτονται ακριβώς από αυτή την ιδιότητα.



Στην πραγματικότητα, βλέπουμε ότι η κλασική ανάλυση μάς προσφέρει το ευρηματικό εργαλείο της, παρόλο που οι ανισότητες αλλάζουν ριζικά το πρόβλημα ακόμα και στις μη γραμμικές περιπτώσεις, αν βέβαια περιοριστούμε στην τοπική προσέγγιση. Επιπλέον από την κλασική ανάλυση δηλαδή με τη χρήση της μεθόδου Lagrange όταν έχουμε ισοτικούς περιορισμούς, μπορούμε να βρούμε το νοητικό σχήμα που τροποποιεί τις συνθήκες όταν έχουμε ανισοτικούς περιορισμούς. Άρα, το θεώρημα Kuhn-Tucker είναι μία κλασική αλλαγή των συνθηκών που δεν απαιτεί την επινόηση ενός νέου μαθηματικού εργαλείου. Και το ίδιο ισχύει και για την ειδική περίπτωση των κυρτών συναρτήσεων, ακόμα και αν το θεώρημα Kuhn-Tucker προσφέρει αυτή τη φορά αναγκαίες και ικανές συνθήκες για το ελάχιστο σημείο του προβλήματος, διότι για μια κυρτή συνάρτηση κάθε τοπικό ελάχιστο θα είναι και ολικό ελάχιστο.



Έτσι το θεώρημα Kuhn-Tucker παρουσιάζεται σε αυτό το πλαίσιο ως μια κλασική παραλλαγή της μεθόδου του Lagrange. Άρα στο γνωστικό επίπεδο, η πολυπλοκότητα της θεωρίας με ανισότητες παραμένει σταθερή και ερμηνεύεται ως μια τεχνική τροποποίηση των ίδιων νοητικών σχημάτων. Η γενίκευση είναι αποτελεσματική διότι δεν διαμορφώνει το πλαίσιο εφόσον το ακραίο σημείο μιας ανισότητας παραμένει μια ισότητα. Άρα τοπικά έχουμε έναν ισομορφισμό δομής και όχι μια ριζική αλλαγή φάσης.







free counters


Opus