De la faible associativité à la puissance des Hv-groupes

N. Lygeros




Dans la théorie des groupes et des hypergroupes, il est parfois difficile de saisir le caractère innovant d'un théorème sauf si ce dernier représente l'aboutissement de travaux de générations de mathématiciens comme celui de la classification des groupes sporadiques. Néanmoins la création des groupes proprement dits qui est due à Evariste Galois et celle des hypergroupes qui est due à Frédéric Marty constituent objectivement de véritables innovations dont nous ne mesurons pas encore toutes les conséquences, et ce particulièrement pour la seconde. En tout cas la difficulté de compréhension de la part des autres mathématiciens plus classiques est un argument en faveur de ces révolutions intellectuelles. De plus chacune d'entre elles a ouvert non seulement une voie mais un champ dans la recherche mathématique. De ces généralisations successives avec un amoindrissement du nombre d'axiomes qui caractérisent ces structures, il est difficile d'extrapoler une évolution linéaire. Tout l'apport de Thomas Vougiouklis se concentre dans la faible associativité. Or cette dernière ne respecte plus l'égalité qui est conservée même dans des objets comme les quaternions qui sont considérés comme exotiques pour certains. Ce remplacement de l'égalité par l'intersection non vide représente une véritable innovation car c'est un point de rupture avec l'approche classique qui pourtant se fonde elle aussi sur la théorie des ensembles. En effet pour étudier le coeur d'une structure essentiellement algébrique nous revenons à une idée typiquement ensembliste. De plus, cette nouvelle approche permet de gérer une nouvelle propriété qui caractérise l'entité des Hv-groupes à savoir leur hérédité par rapport à l'ajout ou l'effacement d'un nouvel élément. Cette idée qui peut sembler élémentaire au premier abord et qui ne représente pas une difficulté en termes de démonstration, est à la base de toute la mentalité des Hv-groupes. Cette propriété permet de les classifier de manière naturelle et de mettre en exergue des structures combinatoires encore plus profondes. Elle peut aussi être partiellement exploitée dans le domaine des hypergroupes. Mais sans aucun doute, son caractère le plus innovant se trouve dans sa créativité. Celle-ci met en évidence le caractère universel et complet de cette approche. Ainsi les Hv-groupes doivent leur puissance et leur généralité à la particularité et à la faiblesse de l'associativité qui joue un rôle central dans cette deuxième généralisation des groupes. L'idée de Thomas Vougiouklis sur la faible associativité bien que dans la lignée de celle de Frédéric Marty sur la reproduction demeure innovante car elle est en fin de compte imprévisible quant à ses conséquences.







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