Sur les styles abstrait et algorithmique en mathématiques

N. Lygeros




Le point de départ de cette note est une question de Thomas Riepe (membre de la société GLIA) parue dans THOTH (page 6, issue 14, april 99) : In math. sometimes a distinction between "abstract" and "algorithmic" style is made. Do you distinguish between them too, if so which one do you prefer ?

Considérons le paradigme du Rubik's cube. Quand nous tentons de résoudre ce probléme particulier, nous commençcons par une approche expérimentale, ensuite nous remarquons la stabilité de certains motifs et avec ceux-ci nous pouvons trouver une méthode algorithmique qui les utilise comme des étapes vers la solution. Une fois le probléme résolu, si nous sommes réellement curieux et intéressés nous essayons de trouver d'autres méthodes de résolution. Alors en ayant quelques méthodes différentes nous pouvons les comparer et trouver leur point commun. Néanmoins pour effectuer cela nous devons connaître, pour ce probléme particulier, quelques notions de la théorie des groupes finis. En fait, si nous avons déjá ce pré-requis nous pouvons résoudre le probléme á l'aide d'une méthode abstraite. Cependant cela nous semble difficile d'appliquer directement une méthode abstraite, en tant qu'approche heuristique, sur un probléme nouveau (i.e. sans similarités avec des problémes connus). Ainsi, pour nous, le style abstrait semble être un medium pour une compréhension meilleure et plus profonde d'un probléme résolu.

Par exemple, si quelqu'un veut comprendre la classification des groupes sporadiques (dont la démonstration représente plusieurs milliers de pages) alors il est forcé d'adopter un style algorithmique. Et c'est seulement aprés cette phase, qu'il peut utiliser un style abstrait pour classifier sa connaissance compléte du théoréme.
En guise de conclusion considérons le modéle du labyrinthe. Nous pouvons adopter deux styles pour le comprendre : le style algorithmique (celui d'Ariane) et le style abstrait (celui de Dédale). Néanmoins il est clair que pour le premier nous n'avons besoin que d'une connaissance locale alors que le second nécessite une connaissance globale.







free counters


Opus