Schémas en théorie des hypergroupes

N. Lygeros




La généralisation des groupes en hypergroupes par Frédéric Marty permet d’étudier de nouveaux schémas. En effet via la méthodologie de Alexandre Grothendieck, nous pouvons examiner quelles sont les structures qui supportent la généralisation. Cependant ces structures peuvent être des théorèmes comme nous l’avons démontré dans nos précédents articles. Ainsi un théorème comme celui de Lagrange ne peut supporter la généralisation. Pourtant ce qui est encore plus important car cette fois il s’agit d’une procédure constructive c’est que certaines structures peuvent apparaître à la suite d’une généralisation. Ici nous ne faisons pas allusion aux loops de Ruth Moufang qui possèdent une propriété analogue. Nous voulons mettre en évidence un schéma radicalement différent qui est obtenu par un traitement asymétrique de la généralisation des groupes en hypergroupes. Pour cela considérons le fait suivant :

Tout groupe est son propre groupe d’automorphismes.

Ce fait qui est trivial par définition, représente certes un cas dégénéré de la mentation d’Evariste Galois puisque celui-ci a créé la théorie des groupes justement pour pouvoir associer des groupes à n’importe quelle structure via la notion de groupe d’automorphismes. L’idée étant que la structure des groupes par sa richesse permet d’obtenir de nouveaux résultats sur les entités considérées. Tout cela est absolument vrai dans tous les cas excepté celui des groupes. Aussi les spécialistes du domaine ne se sont jamais attachés à ce fait. La conséquence de cette dégénéressence a été que les spécialistes de théorie des hypergroupes ne se sont pas intéressés à la version modifiée et interrogative de ce fait. Cette nouvelle formulation est la suivante :

Quel est le groupe d’automorphismes d’un hypergroupe ?

Cette question aurait pu être naturelle puisque dans certaines définitions de la théorie des hypergroupes et même des Hv-groupes, intervient la notion de groupe d’automorphismes. Mais celle-ci est neutralisée car elle est traitée dans le cadre de l’isomorphisme. Aussi les structures sont examinées à isomorphisme près.

Pourtant cette question que nous avons retrouvée via Grothendieck et Marty nous ramène à la mentation de Galois. Elle concerne en tant que schéma les propriétés de celles-ci, ainsi que la puissance qui est due à la théorie des groupes. Seulement il ne s’agit pas seulement de plaquer cette dernière pour obtenir des résultats immédiats. Au contraire, nous devons nous enfoncer dans cette voie pour en pénétrer toute la profondeur. Nos réflexions sur les hypergroupes rigides i.e. ceux dont le groupe d’automorphismes est trivial, sont le germe de cette nouvelle problématique. Nos travaux sur l’énumération effective des hypergroupes et des Hv-groupes à l ’ordre 3 et de leurs cas abéliens à l’ordre 4 vont elles aussi dans ce sens puisqu’ils explicitent le fait que le groupe d’automorphismes joue un rôle important dans la structure de ces hyperstructures. En s’attachant à l’essentiel des hypergroupes, le groupe d’automorphismes fait renaître l’approche de Galois mais dans un contexte encore plus profond puisqu’il s’agit de la généralisation elle-même de la théorie des groupes, à savoir la théorie des hyperstructures.







free counters


Opus