Enchaînements et coupures

N. Lygeros




Pour aborder la notion d’enchaînement, il est nécessaire de se placer dans un contexte topologique. L’élément de base de l’enchaînement est la boucle i.e. espace de dimension topologique égale à un, qui n’est pas un noeud et qui est fermé sur lui-même. Il s’agit donc d’un objet isomorphe au sens topologique du terme à un cercle. Nous pourrions aussi le définir de manière homotopique mais nous pensons que les éléments déjà donnés évitent toute confusion. Aussi un enchaînement peut être défini comme un assemblage topologique de boucles sans torsion. Cette dernière condition permet d’éviter des configurations de ce type :


Aussi les cas dégénérés sont simplement des boucles disjointes non enchaînées. Par conséquent, le premier enchaînement nécessite deux boucles:


La combinaison de cet enchaînement avec une autre boucle permet d’obtenir les deux enchaînements suivants :


Cependant à l’aide de trois boucles nous pouvons construire un enchaînement bien plus remarquable :


Contrairement à ce que nous pourrions penser au premier abord cet enchaînement n’est pas isomorphe au précédent. Pour le démontrer de manière élémentaire il suffit d’utiliser la notion de coupure. Celle-ci permet d’associer à chaque boucle un degré de coupure par rapport à l’assemblage global. En coupant une boucle du premier enchaînement nous n’obtenons deux parties disjointes que si nous coupons la boucle centrale. Tandis que la coupure d’une boucle extérieure amène à l’enchaînement à deux boucles. Ceci est comparable au deuxième enchaînement mais celui-ci a une propriété universelle puisque la coupure de toute boucle donne le même résultat. Et celui-ci est toujours l’enchaînement à deux boucles. Alors que le premier enchaînement remarquable possède aussi cette propriété universelle, la coupure d’une de ses boucles conduit à des boucles disjointes. Il a donc le même groupe d’isomorphismes que le second enchaînement sans être pour autant isomorphe à celui-ci. Nous voyons que dans ce cas la notion de coupure est d’une efficacité sans équivalent.







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