Παρατήρηση του Καραθεοδωρή περί εφαρμογών της ολοκλήρωσης του Lebesgue στη γεωμετρία

Ν. Λυγερός




Ο ίδιος ο Nicolas Bourbaki αναγνώρισε στην ιστορία των Στοιχείων των Μαθηματικών, το θεμελιακό ρόλο του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή στην αποκάλυψη και την εμβάθυνση της ολοκλήρωσης του Lebesgue. Αυτή η εργασία βοήθησε να μετατραπεί ένα εργαλείο που θεωρείτο περίπλοκο και ειδικής μεταχείρισης σε ένα ισχυρό εργαλείο για την παρουσίαση σημαντικών θεωρημάτων. Η έκθεση της 94ης συνάντησης του British Association for the Advancement of Science στην Οξφόρδη τον Αύγουστο του 1926, αποδεικνύει τη βούληση του Καραθεοδωρή να δημοσιοποιήσει στο ευρύ κοινό τις δυνατότητες της ολοκλήρωσης του Lebesgue. Σε αυτή τη σημείωση, δίνει τρία παραδείγματα εφαρμογών στη γεωμετρία. Προηγουμένως ορίζει ότι το θεώρημα Lebesgue δεν επινοήθηκε μόνο για τη θεωρία συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής και ότι ορισμένα προβλήματα γεωμετρίας, ανάλυσης ακόμα και φυσικομαθηματικών δεν μπορούν να εξετάζονται χωρίς τη βοήθειά του.

Το πρώτο παράδειγμα του Καραθεοδωρή αφορά την εφαπτομένη καμπύλης. Σε αυτήν εδώ την περίπτωση, οι απλούστερες καμπύλες είναι εκείνες που έχουν ορισμένο μήκος. Η θεωρία του Lebesgue δείχνει ότι αυτές οι καμπύλες έχουν μια εφαπτομένη σχεδόν παντού. Στη συνέχεια, ο Καραθεοδωρή διευκρινίζει τι εννοεί με αυτή την έκφραση. Αν πάρουμε μία τυχαία θέση πάνω στην καμπύλη ή ακόμη καλύτερα πάνω σε έναν άξονά της διορθωμένης, τότε υπάρχει μια πιθανότητα ένα, αυτή η καμπύλη να έχει μία καθορισμένη εφαπτομένη σε αυτό το σημείο.

Το δεύτερο παράδειγμα αφορά την εξέταση των απλούστερων αναλυτικών συναρτήσεων, δηλαδή αυτών που είναι κανονικές και περιορισμένες στο εσωτερικό κάθε μονάδας. Αν θεωρήσουμε μια συνάρτηση f που να ανήκει σε αυτή την οικογένεια και ένα σημείο του δεδομένου δίσκου, τότε η πιθανότητα να υπάρχει το όριο aόταν r → 1 , ισούται με ένα.

Το τρίτο παράδειγμα είναι χωρίς καμιά αμφιβολία το πιο θεμελιακό. Πρόκειται για μια ερμηνεία του περίφημου θεωρήματος του Poincaré. Υπάρχει μια πιθανότητα ένα που η τροχιά ενός μορίου μέσα σ’ ένα ασυμπίεστο υγρό εν κινήσει, επιστρέφει σε κάθε γειτονιά στην αρχική θέση του μορίου. Ο Καραθεοδωρή επισημαίνει το γεγονός ότι την εποχή της παρουσίασης του θεωρήματος του Poincaré (1890) –η οποία παρουσίαση ήταν ανεπαρκής– ήταν εντελώς αδύνατον να είναι κατανοητή η σημασία του. Ενώ δώδεκα χρόνια μετά, με τις μελέτες των Borel και Lebesgue, η εφεύρεση μιας νέας θεωρίας του μέτρου επέτρεψε να ενσωματωθεί στο όλο έργο η παρουσίαση του Poincaré. Ο Καραθεοδωρή τελειώνει τη σημείωση του συμπεραίνοντας ότι στο εξής είναι δυνατόν να έχουμε μια απλούστερη παρουσίαση του θεωρήματος της επαναστροφής. Μόνο που πρέπει να εξετάσουμε την αναφορά για να ανακαλύψουμε αυτό που κρύβει η μεγάλη του μετριοπάθεια. Στην ουσία, η νέα παρουσίαση είναι του ίδιου του Καραθεοδωρή! Και η ακριβής αναφορά είναι η εξής: Über den Wiederkehrsatz von Poincaré (Sitzber. Berl. Akad. 1919, σελ. 580).

Αυτό το παράδειγμα στο σύνολό του είναι ιδιαίτερα αποκαλυπτικό της πραγματικής προπαγάνδας –με τη θετική έννοια του όρου– για να γνωστοποιηθεί το εύρος και το βάθος της ολοκλήρωσης του Lebesgue σ’ ολόκληρη τη μαθηματική κοινότητα της εποχής του. Και μέχρι σήμερα ακόμα, εάν είναι τόσο γνωστή αυτή η παρουσίαση, είναι μεταξύ άλλων χάρη στο έργο του Καραθεοδωρή.







free counters


Opus