Sur l’importance du dénombrable dans la théorie des somas de Carathéodory

N. Lygeros




Un des points les plus cruciaux de la théorie des somas développée par Carathéodory, c’est le caractère dénombrable de l’union. Si nous considérons les axiomes découverts par Stone pour caractériser la théorie des somas, il n’est pas difficile de réaliser l’importance du quatrième ne serait-ce qu’en considérant comme contre-exemple l’ensemble des ensembles bornés d’un espace euclidien. En effet les ensembles bornés vérifient les trois premiers axiomes des somas. Cependant l’ensemble de l’espace qui s’exprime aussi comme l’union dénombrable d’ensembles bornés, n’est pas lui-même borné aussi il ne vérifie pas le quatrième axiome de la théorie. De manière plus générale, il est difficile de conclure à partir des quatre axiomes, sur l’existence de l’union d’un nombre arbitraire de somas. Pour mettre en évidence ce point, Carathéodory exploite l’exemple suivant. Considérons comme ensemble de somas, les ensembles de mesure nulle de la droite réelle. Il s’agit des ensembles que l’on peut recouvrir par des intervalles dont la somme des longueurs est inférieure à tout nombre réel strictement supérieur à zéro. Ces ensembles vérifient l’ensemble des axiomes de la théorie des somas. Par conséquent, il en est de même pour les points x de l’intervalle 0 < x < 1 et ils constituent donc un ensemble de somas. Néanmoins leur union, à savoir l’ensemble de l’intervalle 0 < x < 1 n’est pas l’un de ces somas puisqu’il n’est pas de mesure nulle. Cela signifie que la théorie des somas de Carathéodory permet l’existence d’ensembles de somas dont l’union n’existe pas au sein de la théorie. Bien sûr cela ne signifie pas pour autant qu’il n’existe pas d’ensembles de somas dont l’union non dénombrable existe au sens de la théorie. Selon Carathéodory, un exemple trivial est donné par le fait de considérer comme somas tous les sous-ensembles d’un ensemble infini donné. Cette remarque d’ordre général sur le caractère dénombrable de l’union met en évidence une difficulté d’ordre théorique. Il est nécessaire d’être particulièrement vigilant dans les démonstrations où peut apparaître cette problématique. Car l’absorption d’une union non permise pourrait engendrer des paradoxes théoriques ou plus simplement encore des erreurs. Il est certain que si nous examinons cette difficulté uniquement au niveau élémentaire de la théorie des somas, elle peut paraître quelque peu arbitraire ou même artificielle. Par contre, si nous intégrons le fait que l’approche de Carathéodory a pour but l’unification élémentaire des fondements de la théorie de la mesure et de l’intégration afin de mettre en évidence la véritable nature de l’intégrale de Lebesgue qui n’apparaît plus comme un outil sophistiqué et particulièrement délicat à manipuler, alors nous saisissons encore plus profondément la problématique du dénombrable dans la théorie des somas. D’une certaine manière, la mise en exergue de la problématique du dénombrable, montre aussi que le fondement de la théorie des somas est bien plus l’union que la conjonction des somas. Ce point de vue est d’ailleurs encore plus visible avec la deuxième axiomatique qui permet d’interpréter les somas comme des posets qui ont des propriétés particulières. Le rôle central de l’union provient aussi de la nécessité d’engendrer mais surtout de couvrir l’espace. Ceci est particulièrement important pour une théorie qui est conçue comme une compréhension plus profonde et unifiée de la mesure et de l’intégration. L’importance du dénombrable chez Carathéodory provient sans aucun doute de sa connaissance des travaux de Cantor sur l’infini et ses conséquences.







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