Remarques sur les pyramides de Leonardo da Vinci

N. Lygeros




"La plus grande pyramide qui puisse être tirée d'un cube sera le tiers de la totalité du cube". Leonardo da Vinci.

Cette phrase laconique de Leonardo da Vinci sur le manuscrit B, révèle si ce n'est de sa propre connaissance du problème, du moins, de sa connaissance d'une référence associée à celle-ci. Le problème n'est pas véritablement nouveau puisqu'il est déjà connu par Démocrite et bien sûr Archimède, le modèle de Leonardo da Vinci. Il est vraisemblable que ce dernier en ait eu connaissance grâce à son ami mathématicien Lucas Pacioli. Cependant il n'est pas impossible que Leonardo da Vinci l'ait résolu de son propre chef. Après tout la méthodologie est relativement simple et elle ne nécessite pas l'intervention du calcul intégral comme nous le savons grâce aux anciens grecs. Une manière d'aborder le problème et de rendre visuelle sa résolution, c'est d'effectuer un partitionnement du cube qui fait intervenir le prisme. De cette manière, il est possible d'avoir une étape intermédiaire pour saisir la possibilité d'un accès direct à cette connaissance par Leonardo da Vinci lui-même. Cependant le maître ne se contente pas de cet énoncé sur les pyramides. En effet le suivant est d'une certaine manière encore plus intéressant car il comporte un aspect dynamique certain.

"Toutes les pyramides construites sur des bases égales, en des espaces parallèles, sont égales entre elles." Leonardo da Vinci.

En effet, dans ce problème, il y a le quantificateur universel. Cela prouve la nécessité d'un raisonnement global qui ne peut être simplement constructif. Certes la contrainte de la base égale semble quelque peu rigide mais elle est nécessaire à la véracité du théorème. La seconde contrainte semble plus souple en raison du degré de liberté qui existe dans le plan. Cependant il ne faut pas se leurrer, nous avons affaire à une structure ouverte. La flexibilité se trouve dans l'ouverture mais elle perdrait son sens sans la structure planaire.

Pour retrouver le schéma mental plus profond qui se cache dans l'infrastructure de ce problème, il n'est pas inutile de relire la note de Leonardo da Vinci dans le manuscrit G.

"Selon l'un des "Eléments" (d'Euclide)
Tous les triangles rectilignes faits sur des bases égales et entre des droites parallèles sont égaux entre eux."

Ce passage ne prouve pas seulement que Leonardo da Vinci connaît au moins des parties des Eléments d'Euclide via une traduction latine et sans doute des explications de son ami. Il montre aussi les liens qui existent entre les affirmations éparses de Leonardo da Vinci. Même si celles-ci ne sont pas des théorèmes qui lui sont propres, il n'en demeure pas moins que c'est lui qui choisit de les mettre dans ses manuscrits.

Quant à notre idée de partitionner le cube avec l'intermédiaire du prisme pour obtenir la pyramide, elle s'appuie sur la contraposée d'une autre note.

"Si des chose inégales on retranche des parties égales, les restes seront inégaux non dans la première proportion, mais avec un plus grand excédent de la quantité supérieure".







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