Une démonstration sur les triades congruentes

N. Lygeros




Etude du problème : (Olympiades Mathématiques de Moscou)
Trouver les solutions de :

(ai≠1)     a1a2+1≡0[a3]   (1)
               a1a3+1≡0[a2]   (2)
               a2a3+1≡0[a1]   (3)

Proposition : ai≠ aj

Par l'absurde      a1=a2      (raisonnement symétrique)
a2a3+1≡1[a1]    absurde.


On pose a123

Proposition : (ai,aj)=1

Par l'absurde:    a1|a2      (raisonnement symétrique)
a2a3+1≡1[a1]      absurde.

Lemme : Si a1a2+1=a3⇒ a1,a2,a3=2,3,7
(1) est triviale
(2) a1(a1a2+1)+1≡a1+1≡0[a2]
Or a12⇒a1+1=a2
(3)  a2(a1a2+1)+1≡a2+1≡0[a1]
a1+2≡0[a1]
2≡0[a1]⇒a1=2⇒a2=3⇒a3=7.

Lemme :Si a1a2+1≠a3⇒pas de solution.
Par l'absurde: si a1a2+1≠a3⇒a1a2+1≥2a3
Comme a123⇒ a1a3+1≥2a2 et a2a3+1≥2a1
et
8a1a2a3|a1a2+a1a3+a2a3+1

1/a3+1/a2+1/a1+1/(a3a1a2)>8

Or au mieux on a
1/3+1/4+1/5+1/(3.4.5)=4/5<1
Absurde







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