Sur la généricité de la démonstration de la simplicité des groupes alternés

N. Lygeros




Dans le cadre de la théorie des groupes finis la notion de simplicité est fondamentale puisqu'elle correspond à la notion de primalité en théorie des nombres. Et elle a conduit à la classification des groupes finis simples dans les années 80. Parmi les familles infinies de la classification nous avons les groupes cycliques premiers qui sont les seuls abéliens, les groupes alternés A n (avec n ¹ 4) et les groupes linéaires spéciaux projectifs. Dans cette note nous voulons nous concentrer sur les groupes alternés et en particulier sur le théorème de Galois à savoir la simplicité de ces groupes. Notre but n'est pas l'étude de détails techniques mais la mise en exergue d'un schéma mental générique. Comme les cas A 1 , A 2 , A 3 d'une part et A 4 d'autre part sont particuliers nous nous plaçons dans la situation générale i.e. A n avec n ³ 5). On considère pour cela N un sous-groupe normal ¹ 1 de A 4 afin de montrer que N = A 4 .

Nous savons que le groupe alterné A 4 est engendré par des cycles à trois éléments car une permutation paire est le produit pair d'un nombre pair de transpositions, aussi il suffit de montrer que tous ces cycles sont dans N. Comme N ¹ 1, N contient nécessairement une permutation paire non triviale que nous pouvons décomposer en produit de cycles indépendants. Ainsi N contient une des permutations suivantes : la décomposition de la permutation comporte un cycle de longueur supérieure ou égale à 4, la décompositon contient un cycle de trois éléments et d'autres cycles, la décomposition est un 3-cycle, la décomposition est un produit de transpositions indépendantes. Or le sous-groupe N contient au moins un cycle de trois éléments puisqu'il contient le commutateur. Grâce à ce dernier nous pouvons traiter tous les cas précédents et les unifier : aussi N contient un cycle (i 1 i 2 i 3 ). Considérons à présent un autre cycle à 3 éléments (j 1 j 2 j 3 ). Puisque n ³ 5, il existe une permutation paire de la forme . Et en conjuguant (i 1 i 2 i 3 ) par cette permutation nous retrouvons le cycle considéré. Ainsi le théorème de Galois est démontré.

Ce que nous pouvons remarquer dans cette démonstration c'est que l'existence d'un seul élément non trivial permet via la multiplication, l'inversion, la conjugaison et la commutation par un autre élément puisqu'elles stabilisent le groupe, d'engendrer tous les éléments à tour de rôle jusqu'à ce que nous obtenions tous les générateurs. Nous constatons de cette manière que nous traitons le groupe de manière générique puisque nous nous plaçons en dehors du cadre de la neutralité et que l'élément est a priori quelconque. Donc la stabilité de la loi permet de traiter de l'intérieur l'ensemble du sous-groupe jusqu'à ce qu'il remplisse le groupe considéré tout entier. C'est ce procédé qui est générique dans la démonstration de la simplicité et c'est par cette caractéristique qu'il est aussi universel au niveau des groupes. C'est en ce sens un schéma mental qui peut supporter la généralisation nécessaire à la création des hypergroupes puisque ces derniers possèdent un caractère essentiellement global via la nature de l'axiome de reproduction. Nous envisageons donc une voie de ce type dans la découverte d'hypergroupes spécifiques non accessibles directement en raison de l'explosion combinatoire et la classification au moins partielle de certains d'entre eux pour les ordres relativement petits.







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