Η συμβολή του υπολογιστή στα διακριτά μαθηματικά

Ν. Λυγερός




Στα διακριτά μαθηματικά, η απαρίθμηση των δομών μέσω της έννοιας του ισομορφισμού και της ομάδας αυτομορφισμών, είναι η ουσία του προβληματισμού διότι η γνώση της βρίσκεται στον πυρήνα του πεδίου. Δεν πρόκειται απλώς για μια ταξινόμηση που δεν κατανοεί το βάθος του συγκεκριμένου προβλήματος, αλλά για την ανάδειξη μιας υπερδομής που αποτελεί τη βάση, το συνδυαστικό σκελετό των μη ισομορφικών δομών και καθορίζει την πολυπλοκότητα του συνόλου.

Η λογική εξέλιξη της αριθμητικής, ως βασικό στοιχείο της απαρίθμησης, απέδειξε την αποτελεσματικότητα του υπολογιστή όταν το θεωρητικό πλαίσιο φτάνει στα όρια του και δεν μπορεί να εξηγήσει ειδικά και ιδιόμορφα φαινόμενα, όπως η επίλυση διοφαντικών εξισώσεων. Έδειξε όμως ότι υπάρχουν και έννοιες όπως η μάζα του Serre που είναι απρόσιτες δίχως τη βοήθεια του υπολογιστή ως απλού εργαλείου μνήμης.

Η λογική μέσω του θεωρήματος του Gödel της μηχανής του Turing και της υλοποίησης του von Neumann έδωσε τη δυνατότητα ανάπτυξης της αλγοριθμικής. Η αλγοριθμική, αν και υπήρχε τουλάχιστον στο θεωρητικό επίπεδο, έγινε μέσω του υπολογιστή εφικτή και αποτελεσματική, όχι μόνο διότι κατάφερε να λύσει άλυτα προβλήματα, μα γιατί εφηύρε άλλα τα οποία δεν θα μπορούσαμε να επινοήσουμε δίχως αυτόν.

Το νοητικό σχήμα του μεγάλου πεπερασμένου αριθμού με τη χρήση του υπολογιστή πήρε μια αποτελεσματική μορφή διότι μπορεί να μετατραπεί σε ολικό αποτέλεσμα και στο θεώρημα όπως το απέδειξε το έργο των Appel και Haken. Ο υπολογιστής μπορεί όμως να δώσει και τη δυνατότητα της τελικής και θεωρητικής επίλυσης διότι το πρόβλημα έχει μετατραπεί σ' ένα ελάχιστο σύνολο ιδιομορφιών, όπως με την απόδειξη της εικασίας του Catalan. Επιπλέον, ο υπολογιστής επιτρέπει επιθέσεις μερικών δύσκολων εικασιών όπως η εικασία των Sydney, Sydney και Urrutia όταν υπάρχει απόδειξη μη ύπαρξης άμεσης μεθόδου.

Ένα άλλο γενικό πρόβλημα που μπορεί να επιλύσει ο υπολογιστής είναι εκείνο που αφορά το θέμα της αντίληψης. Όντως υπάρχουν τομείς των μαθηματικών όπου η έλλειψη νοητικών πληροφοριών εξαιτίας της δυσκολίας δεν επιτρέπει την αντίληψη του θεωρητικού να εικάσει μια ιδέα. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι οι υπερομάδες και γενικότερα οι υπερδομές στη θεωρία ομάδων εφόσον το poset που τα χαρακτηρίζει δεν είναι θεωρητικά προσιτό.

Στον ίδιο τομέα των posets, μετά τη θεωρία σχέσεων του Fraisse, ο υπολογιστής επέτρεψε την ανακάλυψη θεωρημάτων όταν η θεωρία μέσω του αποτελέσματος των Kleitman και Roschild έδειξε ότι δεν είναι επαρκής διότι δεν μπορεί να «δει» τη βαθύτερη τους δομή. Τα posets που υπάρχουν ως στοιχεία σε πάμπολλες θεωρητικές δομές είναι περίπλοκα εκ φύσεως διότι είναι απλά. Συμπίπτουν, λοιπόν, με μια υπολογιστική και αλγοριθμική προσέγγιση μόνο και μόνο αν η οντότητά του υπολογιστή κάνει την παρέμβασή της και μετατρέπει τα στοιχειώδη της θεωρίας σε αποτελεσματικά μαθηματικά.







free counters


Opus