De l'invariance de Kuntzmann au théorème de Jordan-Hölder

N. Lygeros




Dans sa petite note intitulée Opérations multiformes. Hypergroupes, Kuntzmann montre de manière relativement élémentaire l’efficacité des hypergroupes de Marty. Il introduit tout d’abord la notion d’opération multiforme qui peut donner plusieurs résultats et celle d’imparfaite qui n’en donne aucun. Il formalise ensuite de manière ensembliste la notion généralisée d’associativité tout en gardant une inclusion. Ce point crucial montre la différence avec l’approche ultérieure de Vougiouklis avec l’intersection non vide. Ensuite il donne une présentation des hypergroupes de Marty ou plus précisément de ceux qui ont un élément neutre en remarquant que même si l’opération n’est pas supposée parfaite, cette propriété résulte de la définition. Cela le conduit à expliciter la notion d’hypergroupe spécial qui correspond en termes plus modernes à un hypergroupe avec élément neutre dont l’associativité est généralisée dans le sens de l’inclusion. Aussi cette notion sous certaines conditions se ramène à celle d’hypergroupe avec élément neutre. De plus, il définit les sous-hypergroupes et les classes. Et il remarque que dans un hypergroupe spécial nous avons les propriétés suivantes :

  • a x ⊃ b a pour solutions les éléments ab.
  • Deux classes qui ont un élément commun coïncident.
  • Le nombre de classes à droite est égal au nombre de classes à gauche.

Dans ce cadre un sous-hypergroupe est dit invariant si les classes à droite et à gauche coïncident.

Grâce à ces outils, il démontre une propriété analogue à celle des sous-groupes invariants, à savoir les classes forment un hypergroupe qui est dit hypergroupe quotient. Il le désigne par g/g1

Mais le plus remarquable de son approche provient de la remarque suivante :
Si g1 est invariant g1g2/g1=g2/g1∩g2 aussi il en déduit le théorème de Jordan-Hölder.

Ce que nous retenons de cette approche c’est que de nouveau à la manière de Marty, Kuntzmann via sa notion d’associativité généralisée ou affaiblie mais qui conserve l’inclusion parvient en s’inspirant du schéma mental de l’invariance dans les groupes à retrouver le théorème de Jordan-Hölder. Cette manière de faire représente une méthodologie efficace dans le domaine de la théorie des hypergroupes mais aussi des Hv-groupes qui apparaissent comme la généralisation complète de cette idée.







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