Dualité et Hv-anneaux

N. Lygeros




  • Groupe
  • Hypergroupe
  • Hv-groupe
  • Hv-anneau
  • L’ Hv-anneau < A, +, × > est dual si < A, ×, + > est un Hv-anneau.

La notion de dualité est donc définie pour deux Hv-anneaux qui ont le même ensemble initial. Cette notion a été introduite pour la première fois par Achille Dramalidis en 1996.

Il remarque de plus que si < A, +, × > est un Hv-anneau avec x × y É { x, y } pour tout (x, y) Î R² alors < A, +, × > est dual.

Dans ce cadre plus restrictif que le cadre général il obtient des résultats énumératifs qui ouvrent la voie à des recherches plus extensives et qui se basent sur des théorèmes qui permettent un élagage rapide de cas à traiter.

Il parvient ainsi à classifier tous les Hv-anneaux à trois éléments de la forme H = {0, 1, a} où 0 est le scalaire unité du Hv-groupe < H, + >, et élément absorbant du semi-hypergroupe < H, × > et 1 est le scalaire unité du semi-hypergroupe < H, × >.

De même, il classifie sous les mêmes hypothèses, l’ensemble de tous les hyperannoïdes dans lequel l’hyperopération (×) n’est pas distributive par rapport à l’hyperopération (+).

Et il généralise partiellement ces résultats en plaçant cette fois la condition que 1 est élément unitaire de < H, × >.

Nous voyons dans ces résultats d’une part la nécessité d’avoir peu de calculs à faire car ils sont vérifiés à la main, de minimiser le rôle de l’associativité car elle a un coût calculatoire important et d’exploiter la propriété de symétrie qui permet la dualité des hyperanneaux.

Nous pensons que cette catégorie d’hyperanneaux est désormais accessible et ce, de manière globale, sans que nous devions passer par des restrictions qui malgré leur caractère théorique n’en demeurent pas moins un outil pour élaguer les nombreuses branches des arbres.

La possibilité d’effectuer des calculs effectifs et efficaces au moins pour les petits ordres amènera sans aucun doute le domaine à modifier dans le futur ses voies de recherches. Car certaines catégories ont été, entre autres, étudiées car elles avaient un coût calculatoire faible sans que cela n’implique qu’elles étaient intéressantes ou fondamentales pour la théorie dans son ensemble. Car les recherches énumératives montrent par exemple la plus grande importance des hypergroupes cycliques et single-power par rapport aux hypergroupes canoniques alors que ce fait n’était pas évident pour les théoriciens.







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