Sur les limites de la méthode de Cayley-Dickson

Ν. Λυγερός




La méthode de Cayley-Dickson qui est désormais classique dans le domaine des constructions de structures algébriques permet de créer à partir des nombres réels, les nombres complexes, puis les nombres quaternions, ensuite les nombres octonions et enfin les nombres sédénions. Cependant ces derniers mettent en évidence les limites de cette méthode quant à son adéquation avec le problème de la multiplicativité de la norme. En effet dans un cadre plus général, pour un espace euclidien à n dimensions, il est important de se demander si le produit de deux sommes de carrés peut s’exprimer comme la somme des carrés. Cette question revient naturellement à celle de l’existence d’une norme multiplicative dans cet espace euclidien. La réponse a été donnée par le théorème de Hurwitz qui date de 1898 et qui montre qu’une algèbre distributive a une norme euclidienne multiplicative uniquement pour les valeurs 1, 2, 4 et 8. Par conséquent, telle que, la méthode de Cayley-Dickson ne peut aboutir. Cependant en 1967, Pfister a démontré que pour toute puissance de deux, il est possible de définir un produit sur l’espace euclidien à n dimensions qui réponde positivement à la question initiale. Aussi nous avons vu apparaître de nombreux produits définis sur l’espace euclidien à 16 dimensions de manière à rendre la norme euclidienne multiplicative. Mais le point le plus important c’est que cette propriété de multiplicativité est révélatrice de l’importance du caractère abélien de certaines structures. Les sédénions semblent être le cas idéal pour traiter cette problématique car ils correspondent à l’algèbre qui suit la rupture conceptuelle que provoque l’existence des octonions qui ne sont pas associatifs. Car une des conséquences fondamentales et négatives du théorème d’équivalence de Kivunge et Smith c’est qu’aucun loop d’extension de sédénions ne peut être un loop propre de Moufang ou de Bol et cela même si tout loop d’extension de sédénions a une puissance associative. Cette conséquence provient du caractère abélien du subloop multiplicatif des octonions. Ceci montre que le passage entre les octonions et les sédénions est loin d’être aussi naturel que les précédents. Au niveau des sédénions il existe vraiment une difficulté essentielle qui provient de la rupture conceptuelle que provoque la non associativité des octonions. Aussi la méthode de Cayley-Dickson ne peut que montrer ses limites face à cet obstacle. Cela s’explique aussi par le fait qu’elle est l’aboutissement d’un raisonnement uniforme basé sur la découverte des quaternions par Hamilton. L’utilisation directe d’une méthode qui exploite l’ensemble des propriétés d’un corps ne peut mener à des résultats probants dans des situations critiques. La perte de l’associativité au niveau des octonions crée un changement de phase qui est fatal à la méthode de Cayley-Dickson en ce qui concerne la multiplicativité. Cela montre que la méthode de construction doit être basée sur le théorème fondamental de Pfister même si celui-ci est seulement existentiel. Enfin la non associativité semble si importante pour les ordres supérieurs qu’il faudrait en tenir compte à la base de la construction.







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