Sur les propriétés de groupes des hypergroupes de Moufang.

N. Lygeros




Comme l’indique, à juste titre d’ailleurs, Smith, le point le plus mature dans la théorie des loops, c’est l’étude des Moufang loops ou des hypergroupes de Moufang. Ces derniers semblent a posteriori être des intermédiaires entre les groupes de Galois et les hypergroupes de Marty. De ce point de vue, ils ressemblent quelque peu aux hypergroupes très fins. En réalité, en brisant l’associativité les Moufang loops, comme les hypergroupes de Marty brisent la neutralité, se détachent de la structure des groupes tout en conservant de nombreuses propriétés de ces derniers. En termes de propriétés conservées, ils ressemblent cette fois aux hypergoupes canoniques de Mittas. Tout d’abord ils conservent eux-aussi un élément inverse (à droite et à gauche) qui vérifie naturellement : " x , x x -1 = x -1 x = 1. Cependant la propriété suivante est encore plus caractéristique. En effet, toute paire d’un Moufang loop engendre un sousgroupe. Cette propriété est nommée diassociativité. Elle montre d’une certaine manière que les Moufang loops tout en brisant l’associativité classique demeurent dans le fond très proches d’elle. Ils représentent de ce point de vue un cas critique. D’ailleurs il est tout-à-fait révélateur que les hypergroupes de Moufang qui sont finis et simples soient des groupes finis simples et ils sont donc générés par deux générateurs. Quant à ceux qui ne sont pas associatifs ils sont générés seulement avec trois générateurs. Ce qui mesure en quelque sorte la différence entre associativité et diassociativité. Mais les Moufang loops possèdent encore d’autres propriétés des groupes. Ainsi dans les Moufang loops finis, l’ordre d’un élément divise l’ordre du loop. Cette propriété va non seulement dans le sens des orbites mais elle est de plus renforcée par un résultat obtenu récemment par Grishkov et Zavarnitsine qui représente un théorème de Lagrange pour les Moufang loops puisque l’ordre d’un subloop divise l’ordre du loop. Ceci prouve que le schéma mental du loop est très proche de celui du groupe. Tandis que nous savons que dans la théorie des hypergroupes de Marty, il n’existe pas de résultat analogue sur les orbites et encore moins un théorème de type Lagrange. Cela nous permet aussi de voir de près que la structure de groupe est plus attachée à la neutralité et à l’inversion qu’à l’associativité puisque la généralisation des groupes via Moufang est plus proche d’eux que celle obtenue via Marty. Cela prouve aussi que ces généralisations dyssymétriques doivent être complétées par une généralisation plus globale avec les hypergroupes de Marty-Moufang comme nous l’avons précisé dans nos articles intitulés : hypergroupes de Marty et hypergroupes de Moufang ainsi que les hypergroupes de Marty-Moufang. Cette généralisation semble indispensable pour se placer véritablement dans le monde non associatif et surtout pour se détacher de manière essentielle des propriétés des groupes. Car même dans la théorie des hypergroupes, la recherche et l’exploitation de la relation fondamentale β* est révélatrice de l’attrait que représentent les groupes. Seulement Marty et Moufang voulaient vraiment généraliser ces derniers aussi l’introduction des hypergroupes de Marty-Moufang nous semble indispensable à la réalisation de ce but.







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