Sur la généralisation des permutations

N. Lygeros




Historiquement, la théorie des groupes provient de celle des groupes de permutations qui avait été introduite pour étudier les conditions de résolubilité des équations algébriques par radicaux. Avec la création de la notion moderne de groupe abstrait, les groupes de permutations ont repris la place qui leur ait due. En réalité ils demeurent importants en raison de l’existence des théorèmes de Cayley.

Théorème (Cayley) : Tout groupe fini est isomorphe à un groupe de permutations.

Ainsi les groupes des permutations peuvent servir de modèle abstrait pour tout groupe fini. De plus, le théorème peut prendre une forme plus générale si nous retirons la condition de finitude nous obtenons via la représentation régulière.

Théorème (Cayley) [généralisé] : Tout groupe est isomorphe au groupe des bijections - « permutations infinies » d’un ensemble sur lui-même.

Ce type de propriété est extrêmement utile pour la représentation des groupes abstraits. Il est donc naturel de voir des tentatives de généralisation et ce, particulièrement dans la théorie des hypergroupes et des Hv-groupes. Ainsi, nous avons une généralisation de Vougiouklis. Pour un ensemble X, nous avons :
            f : X ® Ã(X) - { Æ } qui est appelé permutation généralisée
            si .

Cela permet, entre autres, d’obtenir l’axiome de reproduction de Marty. Pour les Hv-groupes, il est alors possible de définir une translation à gauche de permutation généralisée avec fa(x) = ax. Par ailleurs, il est aussi utile d’introduire les permutations généralisées minimales qui généralisent les classiques qui sont minimales par définition. D’où le théorème suivant :

Théorème (Vougiouklis) : Soit f une permutation généralisée.
f  est minimale si et seulement si la condition suivante est vérifiée :
            si ¹ b et f(a) Ç f(b) ¹ 0 alors f(a) = f(b) et f(a) est un singleton.

Si de plus nous introduisons la notion de hauteur à la manière de Vougiouklis nous avons alors le théorème suivant qui permet de faire le lien avec les P-hypergroupes.

Théorème (Vougiouklis) : Soit (H, × ) un Hv-groupe et s un élément unique, alors la permutation généralisée interne  L(x) = sx  a une hauteur égale à 1. Aussi .

Cette voie permet donc d’envisager une représentation des hypergroupes via les Hv-groupes, avec les permutations généralisées.







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