Fonction et codification

N. Lygeros




Si nous abordons l'étude d'une fonction à variable réelle non pas de manière conventionnelle mais comme la particularisation du théorème de Riemann sur les variétés et leurs singularités, alors notre vision des problèmes devient radicalement différente du point de vue herméneutique. Dans cette nouvelle perspective la recherche des caractéristiques devient un moyen de compresser l'information et donc d'aboutir à une compréhension plus profonde de la structure et de l'organisation de la fonction. Celle-ci initialement considérée comme un ensemble statique en raison de la définition formelle de son existence acquiert une dimension dynamique à travers la mise en évidence de ses singularités géométriques. La dérivation dans ce nouveau cadre, n'est pas seulement une vision locale des choses qui permet, entre autres, de définir la pente de la tangente. La dérivation permet de rechercher systématiquement les points caractéristiques après évidemment le traitement de la continuité qui ne peut aboutir du point de vue cognitif dans le cas de fonctions du type de Weierstrass puisque de nombreux objets fractals sont continus. Aussi bien la continuité que la dérivation ne sont plus interprétées comme des exemples d'analyse locale mais multilocale. Car une fois intégrées dans ce nouveau cadre, elles apparaissent comme des outils d'une vision plus globale. Les points de singularités deviennent des informations pour l'ensemble de la courbe de la fonction. L'analyse multilocale examine la hauteur f(x0) en tout x0, la pente de la tangente grâce à f'(x)|x=x0 et la courbure grâce à f''(x)|x=x0. Ainsi la règle de de l'Hospital apparaît comme un système récursif qui exploite une information locale afin d'éliminer une indétermination intrinsèque. De plus via cette approche, cette règle devient un cas particulier d'un outil encore plus puissant à savoir le développement de Taylor qui peut devenir par la suite un développement asymptotique. Le système récursif de la règle agit sur les premiers termes du développement puis sur les suivants via une ré-application. Ces outils mettent en évidence les caractéristiques de la fonction étudiée et grâce à cela, permettent une codification de celle-ci. Cette codification si la fonction n'est pas trop complexe au sens de la théorie de l'élégance de Chaitin, permet de connaître l'ensemble de ce qui est nécessaire sur la fonction. C'est en ce sens que nous pouvons parler de compression de l'information puisque la fonction considérée comporte initialement et par définition une quantité infinie d'information si par exemple elle est définie sur un intervalle de l'ensemble des réels. Cependant la plupart de cette information est redondante aussi l'étude de la fonction permet d'éliminer cette redondance et via cela, compresser l'information. Au point que parfois la fonction peut a posteriori être considérée comme un petit ensemble d'éléments structurels incompressibles et donc irréductibles puisque la perte de l'un d'entre eux engendre une perte irrémédiable sur la fonction. Ces éléments sont donc les codants de la fonction. Ainsi ce point de vue via Riemann engendre la problématique de la compression optimale et donc par conséquent de la meilleure compréhension de la fonction. Cette dernière apparaît donc comme un code qui doit être déchiffré grâce à l'analyse et à la géométrie et une organisation via l'algèbre.







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