Παραγώγιση και σύνθετη συνάρτηση

Ν. Λυγερός




Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα και ουσιαστικά στοιχεία της παραγώγισης είναι η εφαρμογή της στη σύνθετη συνάρτηση διότι σε αυτήν την περίπτωση συνδυάζονται διάφορα νοητικά σχήματα των μαθηματικών. Ένα από τα πρώτα και τα πιο απλά είναι ο μετασχηματισμός μεταβλητής με τις πληροφορίες που εμπεριέχει σε αυτήν τη μεταφορά δομών. Ο μετασχηματισμός γενικεύει τη γραμμική μεταβλητή και αναδεικνύει τα μη γραμμικά φαινόμενα. Ο μετασχηματισμός τροποποιεί τη γραμμικότητα και την εφοδιάζει με πλούσιες ιδιότητες, μα παραμένει μια απλή εφαρμογή της ίδιας ιδέας. Απλώς η εφαρμογή αναλύεται με δύο κλάσεις. Το δεύτερο σχήμα που κρύβει η παραγώγιση της σύνθετης συνάρτησης είναι η τεχνητή απλοποίηση που πρέπει να επαναφερθεί για να δούμε αυτό που κατανοήσαμε. Η ανάλυση της γραφής dy/dx σε dy/du . du/dx δεν είναι απλώς ένα κλασικό μαθηματικό τέχνασμα μα μια μη γραμμική χρήση του ορισμού της παραγώγισης ως όριο. Διότι με αυτήν την προσέγγιση αγγίζουμε και τη μοναδολογία του Leibniz που εφηύρε το σύμβολο dy/dx. Αλλά ακόμα πιο γενικά, αυτή η διαδικασία είναι και ένας τρόπος να δημιουργήσουμε αυτό που ονομάζεται πια non standard analysis που εξηγεί μ’ έναν μοναδικό τρόπο το φαινόμενο της πάπιας στις διαφορικές εξισώσεις. Η παραγώγιση δεν μπορεί να παρουσιαστεί πια μοναδική ως μια κλίση, ανήκει σε μια αλγεβρική δομή που μπορεί να χρησιμοποιηθεί όπως το απέδειξε πρόσφατα ο Βουγιουκλής ως εργαλείο δημιουργίας Ηv-δομών σε συνδυασμό με την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού. Παράλληλα παράγει και προβλήματα όταν θέλουμε να εξετάσουμε συνεχείς συναρτήσεις και να τις συνθέσουμε. Διότι ακόμα και αν το αποτέλεσμα της σύνθεσης είναι αναμενόμενο, η μέθοδος της απόδειξης παραμένει νοητικά περίπλοκη αν πρέπει όντως να ελέγξουμε όλες τις περιπτώσεις που εμφανίζονται. Και αυτό προέρχεται από τη χρήση της αντιστρόφου μιας συνεχούς συνάρτησης, πράγμα που δημιουργεί πόλους αν μηδενίζεται η αρχική συνάρτηση. Όμως η παραγώγιση της σύνθετης συνάρτησης εμπεριέχει και άλλα στοιχεία όπως το αποδεικνύουν οι άλλοι κανόνες παραγώγισης που εμφανίζονται ως ειδικές περιπτώσεις ακόμα και με το πιο εκφυλισμένο παράδειγμα όπου du=dx συνεπώς
dy/dx=dy/du . du/dx=dy/dx . dx/dx=dy/dx

Με αυτόν τον τρόπο η απλοποίηση έχει και μια τεχνητή πλευρά εφόσον έχουμε και dy/dx=dy/dx .1 πράγμα το οποίο θα είναι χρήσιμο και με τον κανόνα του Lie που εκμεταλλεύεται τη μη αντιμεταθετικότητα του γινομένου της παραγώγισης. Και πώς θα μπορούσαμε να ξεχάσουμε τη συμβολή της παραγώγισης της σύνθετης συνάρτησης στη θεωρία τελεστών εφόσον με την ύπαρξή της αναδεικνύει μια από τις ουσιαστικές ιδιότητες αυτής της θεωρίας. Συνθετικά και όχι μόνο συνολικά, η παραγώγιση της σύνθετης συνάρτησης προσφέρει ένα πλούσιο διδακτικό εργαλείο για την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης.







free counters


Opus