Sur les concepts des algèbres de Lie

N. Lygeros




Une algèbre non associative A sur un corps K, est un espace vectoriel A sur un corps K, dans lequel nous définissons une forme bilinéaire. Pour tout couple (x, y) avec x∈A et y∈A, nous associons le produit xy∈A qui satisfait les conditions de bilinéarité :

(1) (x1+x2)y=x1y+x2y
    x(y1+y2)=xy1+xy2
(2) α(xy)=(αx)y avec α∈K

Cependant comme le remarque N. Jacobson, la notion d’algèbre non associative est trop générale pour mener à des résultats structurels intéressants. Aussi pour obtenir ce genre de propriétés, il est nécessaire et naturel d’imposer des conditions.

Une possibilité c’est d’imposer l’associativité de la multiplication. Une algèbre est dite associative si elle vérifie (x y) z = x (y z). Mais il est possible d’effectuer d’autres choix, en utilisant par exemple l’identité de Jacobi. Une algèbre est dite algèbre de Lie si elle vérifie les conditions de Lie à savoir :
x² = 0 et (x y) z + (y z) x + (z x) y = 0
Dans ce cas, nous pouvons remarquer que :
0 = (x+y)² = x² + x y + y x + x² = x y + y x aussi : x y = - y x.
Pour des algèbres de Lie de caractéristique différente de 2, cette condition est équivalente à la première condition de Lie.
Nous pouvons aussi exploiter le fait qu’il est simple de faire apparaître une algèbre de Lie via une algèbre associative via l’introduction du produit de Lie.
[x,y]=xy-yx
Comme [x1+x2,y]=(x1+x2)y-y(x1+x2)= x1y-yx1+x2y-yx2=[x1,y]+[x2,y]
[x,y1+y2]=x(y1+y2)-(y1+y2)x= xy1-y1x+xy2-y2x=[x,y1]+[x,y2]
et
α[xy]=αxy-xyα=[αx,y]=[x,αy]
nous en déduisons que :
[x,x]=x²-x²=0
[[xy]z]+[[yz]x]+[[zx]y]=(xy-yx)z+(yz-zy)x+(zx-xz)y
-z(xy-yx)-x(yz-zy)-y(zx-xz)=0

Ainsi le produit de Lie [ x, y ] satisfait toutes les conditions que doit vérifier le produit d’une algèbre de Lie. Nous obtenons ainsi l’algèbre de Lie d’une algèbre associative. De la même manière, il est possible de définir à partir du groupe orthogonal i.e. le groupe des transformations linéaires qui sont orthogonales, l’algèbre de Lie orthogonale et à partir du groupe symplectique, l’algèbre de Lie symplectique. Enfin en introduisant la déviation : (x y) D = (x D) y + x (y D), il est possible d’établir un lien entre les algèbres de Lie de la déviation et le groupe d’automorphismes associé.







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