Les hyperanneaux d'ordre 2

R. Bayon, N. Lygeros




Une manière naturelle d’aborder les hyperanneaux, c’est de les ségmenter en deux sous-structures. Ceci permet d’utiliser l’approche classique des anneaux mais aussi de contrôler plus aisément les calculs intermédiaires dans le cadre d’une énumération effective. C’est pour cette raison que nous utiliserons les énumérations des hypergroupes au sens de Marty, les semigroupes, les Hv-groupes au sens de Vougiouklis, et enfin les Sv-groupes qui représentent l’analogue des Hv-groupes mais pour les semigroupes, et non les hypergroupes. Ces classifications sont elles-mêmes partitionnées selon l’ordre du groupe d’automorphismes associé à chacune de ces structures.

Nous avons pour les hypergroupes d’ordre 2 : 2 hypergroupes avec |Aut(H)|=1 et 6 hypergroupes avec |Aut(H)|=2. Nous avons pour les semigroupes d’ordre 2 : 4 semigroupes avec |Aut(S)|=1 et 13 semigroupes avec |Aut(S)|=2. Nous avons pour les Hv-groupes d’ordre 2 : 5 Hv-groupes avec |Aut(Hv)|=1 et 15 semigroupes avec |Aut(Hv)|=2. Enfin nous avons pour les Sv-groupes d’ordre 2 : 7 Sv-groupes avec |Aut(Sv)|=1 et 29 Sv-groupes avec |Aut(Sv)|=2. L’ensemble de ces résultats exceptés ceux pour les Sv-groupes ont été présentés en détail dans nos précédentes publications [Références]. Les résultats sur les Sv-groupes ont été obtenus par le même type de programme et le même algorithme de base.

Le premier cas spécifique d’hyperanneaux d’ordre 2 que nous avons traité, c’est lui où nous avons un hypergroupe au sens de Marty pour la loi (+) et un semigroupe pour la loi (x). Quant à la distributivité de l’hyperanneau créé de cette manière, nous l’avons intégrée en tant que distributivité faible au sens de Vougiouklis. La génération des sous-structures ne s’est pas effectuée à isomorphie près pour des raisons évidentes. Nous avons donc généré 14 hypergroupes et 30 semigroupes. Cela nous a permis d’obtenir en termes d’hyperanneaux : 6 hyperanneaux avec |Aut(A)|=1 et 114 hyperanneaux avec |Aut(A)|=2. Au total, nous avons donc 120 hyperanneaux construits à partir d’un hypergroupe et d’un semigroupe.

Pour la catégorie d’hyperanneaux la plus vaste, nous avons considéré d’une part un Hv-groupe pour la loi (+) et d’autre part un Sv-groupe pour la loi (x). Dans ce cas aussi, nous avons considéré que la distributivité est faible. Nous avons donc généré 35 Hv-groupes et 65 Sv-groupes. Cela nous a permis d’otenir en termes d’hyperanneaux généralisés : 33 hyperanneaux avec |Aut(Av)|=1 et 842 hyperanneaux avec |Aut(Av)|=2. Au total, nous avons donc 875 hyperanneaux construits à partir d’un Hv-groupe et d’un Sv-groupe.

Cette approche globale de l’énumération des hyperanneaux permet d’englober les résultats partiels obtenus par Vougiouklis avec l’utilisation d’un élément neutre et pour Dramalidis avec l’introduction de la notion d’hyperanneau dual dont les sous-structures sont toutes les deux de type Hv-groupe.







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