Des représentations linéaires à la structure du groupe

N. Lygeros




La structure d’un groupe n’est pas toujours accessible de manière immédiate. Dans ce cas, il est judicieux d’exploiter les informations données par l’action du groupe. Plus précisément, nous utilisons un corps K et V un espace vectoriel sur K, pour définir un morphisme de groupe de G dans GL(V) qui sera la représentation du groupe. La conservation de l’information s’effectue par l’application qui préserve la loi de groupe. Si le morphisme est injectif alors la représentation est fidèle. Et c’est la finitude de la dimension de l’espace vectoriel qui permet d’interpréter G comme un groupe de matrices. Quant au degré de la représentation, il est donné par la dimension de V. L’identification des morphismes s’effectue par la notion d’isomorphie. S’il existe un isomorphisme G-équivariant entre les espaces correspondants alors les représentations sont isomorphes. L’irréductibilité de la représentation provient de la simplicité de l’espace sectoriel. En effet, un module V est simple s’il ne contient pas d’autre sous-module que {0} et V. Si V est simple en tant que K [G]–module alors la représentation est irréductible. Une interprétation matricielle de ce phénomène est la suivante. On ne peut pas trouver une base où la représentation de G serait donnée par des matrices triangulaires supérieures par blocs, avec au moins deux blocs. Alors qu’une représentation est complètement réductible si V est somme directe des sous-espaces stables sous l’action de G qui soient irréductibles. Ici, il est important de noter que la rigidité de la notion d’irréductibilité permet de contraindre certaines conditions et par conséquent de simplifier des démonstrations qui deviennent plus directes. Ceci est particulièrement pertinent pour le traitement des groupes finis. L’exemple du théorème de Maschke est tout à fait caractéristique. Il s’énonce ainsi. Si G est fini et si la caractéristique de K est nulle ou ne divise pas le cardinal de G, alors tout K [G]-module est semi-simple. Un autre point encore plus spécifique aux groupes finis est la remarque suivante. Si G agit sur lui-même par multiplication à gauche, on a une représentation sur K [G] et celle-ci est régulière. Si G est de plus fini alors toute représentation irréductible est une sous-représentation de la représentation régulière. L’ensemble de ce formalisme semble potentiellement exploitable dans l’étude des hypergroupes finis de Marty. En effet la complexité de ces derniers est par définition plus grande que celle des groupes. Aussi l’action de l’hypergroupe peut apporter des informations sur sa structure via les représentations linéaires. Il est vrai que l’obstacle de la difficulté est plus important mais il y a fort à parier que ce formalisme particulièrement bien étudié par Jean-Pierre Serre dans les groupes, permettra de mettre en évidence de nouvelles propriétés encore non exploitées dans le domaine de la théorie des hypergroupes. Comme le suggère Michel Mizony, l’approche des représentations et la classification des caractères sans doute généralisées pourrait montrer l’existence de liens structurels entre cette théorie et celle des semi-simples via les notions de moyennable et de localement compact.







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