Remarques sur la notion de dual d’un groupe

N. Lygeros




Notre recherche sur la notion de dual d’un groupe, est dirigée par ce que nous appellerons le programme de Michel Mizony. Il s’agit d’établir un lien structurel entre les groupes et les hypergroupes. Cette tentative s’inscrit dans le cadre de la mise en place d’un véritable lexique qui permet de relier les différentes notions d’hypergroupe, à savoir celle qui est connue dans la théorie des groupes semi-simples et celle de Frédéric Marty.

Le dual d’un groupe G, noté , est l’ensemble des caractères qui sont des morphismes du groupe dans le groupe multiplicatif C*. Aussi   est un groupe pour la multiplication des morphismes. Si G est un groupe fini de cardinal n alors les éléments de   sont les morphismes de G dans le groupe des racines nièmes de l’unité. Ainsi dans le cas du groupe cyclique   si nous notons , avec ,  tous les éléments de   sont de la forme suivante :

Nous avons donc   et même que   forme une base orthogonale de E qui est l’ensemble des fonctions de G dans C, espace vectoriel muni d’un produit scalaire hermitien i.e. pour        

         où   est le conjugué de .

Or nous savons combien est importante cette définition du produit pour la notion d’hypergroupe classique. Elle donne aussi des éléments pour aborder le problème d’hyperanneaux au sens de Marty.

Il est possible de traiter un cas plus général à savoir celui des groupes finis commutatifs. Cette fois aussi, le dual de G est une base orthogonale de E. Pour le constater, il suffit de considérer la décomposition des Z-modules à savoir :

         où   

Par contre ce type d’approche n’est pas possible dans le cas non abélien. Pour le voir, il suffit de traiter le cas du groupe symétrique à n éléments. En effet en considérant deux transpositions spécifiques et en les combinant pour avoir une permutation, nous obtenons seulement deux caractères. Ce problème pour la théorie des groupes classique, représente justement une ouverture pour aller dans la théorie des hypergroupes. Le programme de Michel Mizony consiste à exploiter cette ouverture pour mettre en évidence si ce n’est des propriétés qui vérifient l’axiome de reproduction de Frédéric Marty puisque l’axiome de transitivité est acquis, au moins obtenir un accès aux hyperanneaux au sens de Frédéric Marty même si pour cela, il sera sans doute nécessaire de considérer des cas dégénérés pour l’une ou pour l’autre des théories générales des hypergroupes. Certes cette voie n’est pas forcément royale dans le sens où elle est difficilement exploitable mais elle représente tout de même un filon que nous devons creuser ne serait-ce que pour établir l’existence d’un lexique commun.







free counters


Opus