Des hyperanneaux de Krasner à la généralisation de Vougiouklis

N. Lygeros




Du point de vue historique, Marc Krasner a introduit la notion d’hyperanneau en 1966, c’est-à-dire dix après celle d’hypercorps. Ainsi l’hyperanneau au sens de Krasner généralise l’hypercorps au sens de Krasner. Ce dernier était considéré comme l’extension naturelle de la notion d’hypergroupe au sens de Frédéric Marty. Le problème de cette extension c’est qu’elle n’est pas aussi naturelle qu’on veut bien le croire au premier abord. C’est d’ailleurs pour cette raison que Krasner l’a munie de propriétés qui ont induit l’idée de canonicité. En effet pour éviter des problèmes d’ordre technique, Krasner a utilisé des propriétés ad hoc qui ont été par la suite amplement étudiées par son disciple Jean Mittas. C’est de cette façon que ce dernier a introduit les hypergroupes canoniques qui sont, en somme, une restriction des hyperanneaux et par conséquent des hypercorps au sens de Krasner. Dans ce schéma global, il n’y avait pour ainsi dire aucun reproche à faire si ce n’est l’impression que cet univers est complet et clos. Car il n’en est rien. Et c’est l’approche radicalement différente de Thomas Vougiouklis qui a mis en exergue ce point critique. Ce dernier a choisi un autre point de départ. Il a commencé par l’hypergroupe de Marty et l’a généralisé en affaiblissant l’associativité mais en conservant la reproduction. Avec cette nouvelle approche il lui a été plus facile de s’étendre aux hyperanneaux et aux hypercorps de manière réellement naturelle cette fois. Et du coup cette approche généralise non seulement celle de Krasner mais aussi celle de Rota. L’intérêt de l’approche de Vougiouklis, c’est qu’elle ne s’appuie pas sur un cadre spécifique comme des hypergroupes canoniques. Il conserve comme élément de base, l’ensemble des hypergroupes au sens de Marty et introduit même les Hv-groupes. Cela lui évite le piège de la représentativité dans le monde des hypergroupes. En effet les résultats énumératifs que nous avons obtenus dans le cadre de notre recherche avec Roman Bayon, montrent que les hypergroupes canoniques ne représentent qu’une très faible minorité dans l’ensemble des hypergroupes. Et de là, nous pouvons aisément en déduire que les généralisations de Krasner au niveau des hyperanneaux et des hypercorps sont analogues dans les mondes correspondants. Ainsi la généralisation de Vougiouklis recouvre l’ensemble des hyperstructures et ne se contente pas d’approfondir des classes qui sont tellement spécifiques qu’elles ne constituent qu’un très petit sous-ensemble du cadre général de la théorie des hyperstructures. Ainsi la généralisation de Vougiouklis permet d’associer la théorie sur une base plus vaste et qui possède de plus la propriété d’hérédité par rapport aux hypergroupes de Marty. Elle joue donc aussi le rôle de rectification par rapport à l’extension initiale qui apparaît désormais clairement comme une spécificité artificielle. Cela prouve aussi que les méthodologies ad hoc n’offrent pas toutes les possibilités dans le cadre des généralisations. Et ceci est particulièrement vrai pour des entités mathématiques qui sont par nature des structures ouvertes.







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