Θεωρητικά προβλήματα ολοκληρωμάτων

Ν. Λυγερός




Μια πρώτη ματιά της θεωρίας των ολοκληρωμάτων δίνει την εντύπωση ότι το ολοκλήρωμα του Riemann εξασφαλίζει όλο το θεωρητικό πλαίσιο. Στην πραγματικότητα, αν εξετάσουμε τον ορισμό του ολοκληρώματος του Riemann συνειδητοποιούμε ότι υπάρχει μια πρόσθετη απαίτηση στην απλή συνθήκη της παραγώγισης. Δεν αρκεί να είναι παραγωγίσιμη η συνάρτηση F πρέπει η συνάρτηση F΄ να είναι και ολοκληρώσιμη με την έννοια του Riemann ο λόγος είναι απλός. Υπάρχουν παράγωγες που δεν είναι φραγμένες. Επιπλέον, υπάρχουν και φραγμένες παράγωγες που δεν είναι ολοκληρώσιμες με την έννοια του Riemann. Κατά συνέπεια, η πρόσθετη απαίτηση είναι απαραίτητη. Η ιδέα του ολοκληρώματος Lebesgue είναι να καλύψει αυτό το κενό του ολοκληρώματος του Riemann. Όμως το ολοκλήρωμα του Lebesgue δεν απαντά σε όλα τα θεωρητικά προβλήματα, διότι δεν αντιμετωπίζει αποτελεσματικά τις μη φραγμένες παράγωγους. Πιο συγκεκριμένα, το ολοκλήρωμα του Lebesgue επιτρέπει την ολοκλήρωση κάθε φραγμένης παραγώγου. Αυτή η ενδιάμεση λύση μας οδηγεί έμμεσα στο γενικό πρόβλημα. Μπορούμε να γενικεύσουμε τα ολοκληρώματα του Riemann και του Lebesgue, έτσι ώστε να ολοκληρώνεται κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση. Αν και το πρόβλημα είναι τολμηρό, η απάντηση είναι εκπληκτική, διότι είναι θετική. Αυτήν τη γενίκευση αποτελούν τα ολοκληρώματα του Denjoy, του Perron και του Henstock. Όμως το πιο εντυπωσιακό αυτού του προβλήματος δεν είναι η γενίκευση. Κάθε γενικευμένο ολοκλήρωμα ασχολείται με μια διαφορετική ιδιότητα του ολοκληρώματος του Lebesgue που γενικεύει του ολοκλήρωμα του Riemann. Συνεπώς, οι ορισμοί των ολοκληρωμάτων του Denjoy, Perron και Henstock, είναι ριζικά διαφορετικοί. Όμως παρόλα αυτά, όπως μας συνηθίζουν τα ανώτερα μαθηματικά, αυτοί οι τρεις ορισμοί είναι ισοδύναμοι. Δηλαδή, όχι μόνο το γενικό πρόβλημα έχει μια λύση αλλά οι 3 προσεγγίσεις του προβλήματος είναι ισοδύναμες και αποτελούν ένα ενιαίο πλαίσιο.

Όταν εξετάζουμε αναλυτικά το έργο του Carathéodory, αντιλαμβανόμαστε, όπως το ανέδειξε ο Bourbaki, ότι αυτός ανέπτυξε τη χρήση του ολοκληρώματος του Lebesgue κι έδωσε τη νέα τάση της θεωρίας του μέτρου. Ο Carathéodory μελέτησε και το έργο του Denjoy, όπως το αποδεικνύουν οι μαθηματικές αναφορές. Τέλος, ήταν άμεσα συνδεδεμένος με τον Perron. Κι αν ο Carathéodory δεν σχετίζεται με τον Henstock, η εξήγηση είναι χρονική. Ο Carathéodory πέθανε το 1950 και ο Henstock διατύπωσε το ολοκλήρωμά του μόνο τη δεκαετία του 1960.

Αν εξετάσουμε αναλογικά τα έργα του Denjoy και του Perron, σε σχέση με το ολοκλήρωμα του Lebesgue, με το έργο του Darboux σε σχέση με το ολοκλήρωμα του Riemann, θα αναδείξουμε ένα μαθηματικό νοητικό σχήμα που ενισχύει όλο το πλαίσιο του αρχικού προβλήματος. Οι ορισμοί του Darboux και του Riemann για το ολοκλήρωμα του Riemann είναι ισοδύναμοι. Οι ορισμοί του Denjoy και του Perron για τη γενίκευση του ολοκληρώματος του Lebesgue, είναι και αυτοί ισοδύναμοι. Επιπλέον, οι προσεγγίσεις είναι και αυτές ανάλογες. Ενώ το ολοκλήρωμα του Henstock είναι εντελώς διαφορετικό.

Αυτό το μαθηματικό και ιστορικό πλαίσιο, μας δίνει τη δυνατότητα να κατανοήσουμε πιο βαθιά το πεδίο σκέψης του Carathéodory, όταν επινόησε την αλγεβροποίηση της θεωρίας μέτρου και ολοκλήρωσης.








free counters


Opus