Une remarque géométrique en théorie des groupes

N. Lygeros




Historiquement notre remarque géométrique tire son origine d'un exercice classique de M. Kargapolov en théorie des groupes élémentaire. Il s'agit de montrer que pour tout groupe d'ordre pair, il existe un élément autre que l'élément neutre qui possède la propriété d'être égal à son inverse. La résolution classique consiste à exploiter le principe de récurrence, mais pour notre part nous avons une préférence pour le raisonnement par l'absurde qui permet d'attaquer directement le problème et le noyau de sa difficulté.

En effet, en considérant que dans un groupe d'ordre pair tout élément admet un élément inverse différent de lui-même, nous en déduisons que l'ordre du groupe considéré auquel nous avons enlevé l'élément neutre doit être d'ordre pair ce qui aurait pour conséquence absurde que l'ordre du groupe global serait impair. Ainsi nous en déduisons l'existence de cet élément sans avoir besoin de l'exhiber directement. Par contre l'énoncé de M. Kargapolov n'affirme rien sur les groupes d'ordre impair. Aussi pour enrichir le résultat obtenu nous avons cherché une catégorie spéciale de groupes pour laquelle il ne serait pas valable et nous avons trouvé celles des groupes cycliques d'ordre impair. Néanmoins pour démontrer ce résultat nous avons recherché une méthode non uniforme, et en particulier géométrique afin de mettre en évidence la puissance de l'intersection géométrico-algébrique.

Pour ce faire, nous avons utilisé la table qui décrit les groupes et nous avons remarqué que si nous excluons l'opération sur l'élément neutre, l'apparition de la neutralité s'effectue sur la sous-anti-diagonale principale et celle-ci est bien sûr perpendiculaire à la diagonale principale ainsi il n'y a au maximum qu'une seule interse ction possible et donc le groupe a "au plus" un seul autre élément que l'élément neutre qui a sa propriété quant à l'égalité de l'inverse. Considérons à présent que cet élément existe réellement en appliquant le raisonnement par l'absurde précédent nous en déduisons que le groupe cyclique considéré doit être d'ordre pair, ce qui est absurde.

Grâce à cet exemple de la théorie des groupes élémentaire nous voyons combien l'introduction d'un élément pour ainsi dire orthogonal méthodologiquement parlant peut augmenter l'efficacité de l'approche démonstrative même dans le cadre où intervient le raisonnement par l'absurde. Quant à l'aspect géométrique de la procédure employée, il est dû à l'interprétation aisée de la notion de cyclicité puisque celle-ci n'est qu'une permutation circulaire dans la table du groupe. La localisation de la propriété recherchée sur une structure géométrique qui est un sous-ensemble de la table permet d'éviter d'avoir à connaître l'ensemble de celle-ci. Ensuite la réduction de l'information nécessaire permet de trancher dans le vif sans pertes annexes. Cette méthode est donc généralisable dès que l'on peut localiser géométriquement le support de la propriété recherchée et c'est en cela qu'elle constitue un schéma mental méta-heuristique.







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