Remarques sur les groupes, les hypergroupes et les hyperstructures

N. Lygeros




Dans l’objectif de saisir la profondeur de la structure des groupes, Frédéric Marty les a dégagés de leur neutralité et a introduit une nouvelle entité à savoir celle d’hypergroupe. Celle-ci n’est définie qu’à partir de l’axiome de reproduction i.e. et l’associativité i.e. . Cependant l’affaiblissement relatif de la caractéristique neutre puisqu’elle a fini par être délocalisée sur l’ensemble des éléments de l’hypergroupe, a eu pour conséquence de faire apparaître une explosion combinatoire. En effet le nombre maximal d’opérations potentielles par un groupe d’ordre n est égal à tandis que le nombre maximal d’opérations potentielles pour un hypergroupe d’ordre n est égal à . Ainsi ne serait-ce qu’à l’ordre 3, nous passons de 81 possibilités pour les groupes à plus de 40 millions pour les hypergroupes.

C’est entre autres pour cette raison que dans les années ultérieures, malgré le caractère paradoxal de cette approche, ont été étudiés les hypergroupes possédant un élément neutre ou plus exactement leur généralisation. En effet considérant l’obstacle de l’explosion combinatoire mais en même temps la réduction via le cas particulier de la généralité, la recherche s’est portée sur les hyperstructures et en particulier les H_v hyperstructures. L’idée essentielle qui régit l’existence de ces hyperstructures c’est l’affaiblissement de l’associativité et/ou de la commutativité lorsque celle-ci joue un rôle. Cet affaiblissement consiste simplement à considérer les deux termes de la loi associative comme des ensembles puisque cela est possible et de demander à ce que l’intersection de ceux-ci ne soit pas vide.

Cependant il ne faudrait pas limiter cette approche à un choix stratégique pour éviter avec succès l’obstacle de l’explosion combinatoire. En effet ces hyperstructures possèdent une propriété dont les hypergroupes sont dépourvus. Celle-ci est construite à partir de la définition de l’ordre partiel suivant. Une hyperopération (·) est appelée inférieure à une autre hyperopération (*) si et seulement s’il existe une application telle que pour tout couple (x, y) appartenant à H. De cette définition nous pouvons déduire le théorème suivant : Si une hyperopération est faiblement associative alors toute hyperopération supérieure à celle-ci et définie sur le même ensemble, est elle aussi faiblement associative. De cette propriété, nous pouvons exhiber la notion de minimalité de manière naturelle. Il s’agit de l’hyperstructure qui vérifie cette propriété mais qui ne contient pas d’autre hyperstructure définie sur le même ensemble. C’est de cette manière qu’ont pu être exhibées les dix hyperstructures minimales contenant un élément neutre.

Malgré ces résultats il est évident que dans le domaine de l’énumération aussi bien des hypergroupes que des hyperstructures, l’exploitation de techniques venues de l’énumération de structures beaucoup plus simples comme les ensembles munis d’un ordre partiel permettra d’effectuer des progrès considérables comme nous avons pu le constater pour les hypergroupes d’ordre 3. En effet cette nouvelle approche qui se concentre entre autres sur le groupe d’automorphismes contient des éléments capables de transcender certaines difficultés combinatoires.







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