Sur les somas de Carathéodory et les hypergroupes de Marty

N. Lygeros




Dans nos précédents articles (cf. Posets, Groups and Hypergroups ; L’entité des hypergroupes comme révélatrice de notions mathématiques ; Remarques sur les hypergroupes, la commutativité et la cyclicité ; Sur le caractère global de l’axiome de reproduction ; Sur les hypergroupes rigides ; The Hypergroups of Order 3 ; Remarques sur les groupes, les hypergroupes et les hyperstructures ) nous avons traité les hypergroupes de Marty comme une généralisation des groupes introduits par Galois. Le point de vue de ces articles, c’est l’abstraction via le processus d’abduction de la généricité de l’entité algébrique selon la mentation de Grothendieck. Cette fois, nous voulons mettre en évidence le caractère efficace de l’outil algébrique tel qu’il a pu être exploité par Boole pour codifier la logique et pour créer ce que nous nommons désormais l’algèbre de Boole. Car dans l’évolution de la pensée de Carathéodory nous pouvons observer la présence d’une tentative de formulation algébrique de la théorie de la mesure. C’est à cette occasion qu’il a introduit pour la première fois la notion de soma qui représente une entité qui est d’une part un sous-ensemble d’un ensemble donné et d’autre part un schéma de la géométrie élémentaire. Nous retrouvons ainsi une idée analogue à celle de Prenowitz et et Jantosciak qui développe la théorie des join spaces afin d’unifier les différentes géométries dans une expression algébrique. De la même manière Carathéodory développe la théorie des classes d’équivalences et des congruences pour la théorie des somas comme pour les théories modernes des hyperstructures. Nous pouvons constater dans cette analogie, d’une part la puissance de l’algèbre en tant qu’outil unificateur et d’autre part la profondeur de celle-ci en tant que noyau de schémas mentaux.

La construction aussi bien des hyperstructures que des somas est basée sur le concept de la duplicité. Celle-ci est nécessaire pour les deux théories. Aucune d’entre elles ne peut être cohérente et consistante sans elle. Cette duplicité semble le point fondamental de ces formes mathématiques comme leur essence en dépendait. Il s’agit dans les deux cas du même schéma mental à savoir la généricité de la duplicité qui engendre l’unicité de la structure construite. Celle-ci est plus puissante que ses deux constituants. A partir des deux axiomes peut naître une structure capable d’engendrer non seulement des théorèmes mais une véritable théorie. Il est donc intéressant de voir à quel point l’algèbre est compatible avec cette approche qui ne serait être réduite à une simple formalisation d’éléments théoriques existants. L’algébrisation n’est pas une simple procédure de conformité. La puissance de la procédure permet d’accéder à des idées plus profondes sur la manière dont s’assemblent les données de la théorie. L’algébrisation met en évidence à l’instar de la théorie des relations de Fraïssé, la nature relationnelle du réseau de la structure. Elle permet de plus de supporter les généralisations à venir de la théorie considérée car elle est concentrée naturellement sur le noyau de celle-ci tout en permettant ses extensions spécifiques.

Dans la théorie des somas de Carathéodory comme dans la théorie des hypergroupes de Marty l’algébrisation a mis en évidence leur duplicité intrinsèque et la richesse de ce schéma mental. Toutes deux correspondent à des situations qui généralisent l’approche de Boole avec le calcul propositionel puisqu’elles s’appliquent par nature à des mondes ouverts.







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