Τα δακτυλικά εξάμετρα του Ομήρου

Ν. Λυγερός





Τα δακτυλικά εξάμετρα του Ομήρου

Ν. Λυγερός

 

Θεώρημα: (Κεχαγιάς-Λυγερός) Το εξάμετρο του Ομήρου, με την έννοια της θεωρίας αυτομάτων, αναγνωρίζει τη γλώσσα που παράγουν οι κανόνες της οικογένειας των δακτύλων.

 

Απόδειξη: Έστω η εξής γλώσσα με το αλφάβητο Α: = {Δ,Σ,Τ}

και τη γραμματική: Κανόνας 1: Μία λέξη έχει 6 γράμματα.

Κανόνας 2: Μόνο το τελευταίο γράμμα της λέξης

μπορεί να είναι Τ.

 

 

Κανόνας 3: Το τελευταίο γράμμα δεν είναι Δ.

Κανόνας 4: Αν αντικαταστήσουμε τα πέντε πρώτα

γράμματα μιας λέξης με τον εξής τρόπο

Δ↔Σ και Σ↔Δ τότε έχουμε μια λέξη.

 

-Με τον κανόνα 4 συνεπάγεται ότι ο αριθμός των λέξεων της γλώσσας είναι άρτιος.

 

-Με τον συνδυασμό των κανόνων 2 και 4 συνεπάγεται ότι ο άρτιος αριθμός διαιρείται

με το 4.

 

-Με τον συνδυασμό των κανόνων 1, 2 και 3 αρκεί να εξετάσουμε πόσες υπολέξεις

παράγουμε με 5 γράμματα. Όπως κάθε γράμμα είναι ανεξάρτητο έχουμε 25

υπολέξεις:

Πιο αναλυτικά έχουμε: 1 υπολέξη με 5 Δ

5 υπολέξεις με 4 Δ και 1 Σ

10 υπολέξεις με 3 Δ και 2 Σ

10 υπολέξεις με 2 Δ και 3 Σ

5 υπολέξεις με 1 Δ και 4 Σ

1 υπολέξη με 5 Σ

 

Άρα η γλώσσα παράγει 2(1+5+10+10+5+1) = 64 λέξεις.

 

Εάν ταυτίσουμε τα γράμματά μας με τον εξής τρόπο:

 

Δ= -υυ , Σ= -- και Τ= -υ

(Δάκτυλος) (Σπονδείος) (Τροχαίος)

 

Τότε βρίσκουμε στον Όμηρο τα αντίστοιχα 64 εξάμετρα.







free counters


Opus