Le problème qui suit, bien qu’élémentaire, est caractéristique d’un mode de raisonnement qui utilise l’absence d’information comme une méta-information. Notre but, est d’analyser ce processus afin d’étudier son aspect du point de vue de la recherche didactique.
Enoncé du problème : Trois volontaires, désignés par A,B,C, acceptent de se prêter à un jeu : il leur est demandé de se mettre en file indienne, chacun regardant droit devant, A étant devant B, et C derrière B. On leur bande les yeux et on les coiffe d’un chapeau prélevé dans un sac contenant deux chapeaux bleus et deux chapeaux rouges.
Lorsque cette opération est terminée, on leur ôte le bandeau et sans qu’aucun d’eux ne se déplace, ou ne se retourne, on demande à chacun de deviner la couleur du chapeau qu’il porte.
Après quelques secondes d’un silence général, c’est curieusement, B qui est en mesure de donner sans erreur possible la couleur de son chapeau. Pourquoi ?
Au premier abord, il n’est pas évident de voir où se trouve l’information utile à la résolution du problème. Et c’est aussi pour cette raison que la réaction habituelle des étudiants s’exprime sous forme de rejet en considérant que ce problème n’est pas un vrai problème de mathématiciens. Or il n’en est rien. La logique de ce problème est basée sur l’interprétation de l’absence d’information. En effet, une information importante est cachée par le mot silence. Ce dernier signifie que C qui est la personne qui peut voir les deux autres, n’est pas capable de trouver sa couleur à partir des informations dont elle dispose. Et cela indique que celui-ci ne voit pas deux couleurs identiques sinon il pourrait en déduire la sienne. B, sachant cela, en déduit qu’il n’a pas la même couleur que A.
Nous venons de voir un cas d’école où le fait de savoir qu’une autre personne ne peut savoir, nous permet de savoir ce que nous ne savons pas. En d’autres termes, et de manière un peu plus formelle : a priori pas de connaissance globale peut engendré a posteriori une acquisition de connaissance locale.