Moyenne arithmético-géométrique :

et où .

Fonctions théta :

et .

Montrons que :

Nous avons :

Nous posons : et

Alors : et

où et forment la suite arithmético-géométrique.

Si alors .

Comme il existe avec pour tout
tel que : et
et :
nous avons .

Comme l’a très justement remarqué Mestre, c’est ce type de méthode qui permet d’obtenir la formule de Thomae à partir des fonctions théta à plusieurs variables.