Όλη η δομή του τεστ «Αρχιμήδης» είναι βασισμένη στη διαύγεια του κύκλου με τη γνωστική έννοια. Η μοναδική χρήση του διαβήτη δεν είναι μόνο μια δυσκολία, είναι ένα μέσο που αναδεικνύει την εσωτερική μορφή του κατασκευαστικού προβλήματος. Άρα δεν πρέπει να θεωρηθεί ως ένα εμπόδιο με τη νοητική του έννοια, αλλά ως ένας έμμεσος τρόπος όχι μόνο επίλυσης του ανοιχτού προβλήματος, μα και αναγνώρισης της πραγματικής του έννοιας. Λειτουργεί σαν κλειδί ενός κρυπτοσυστήματος που δίνει την πληροφορία μόνο σε αυτούς που την αναζητούν. Όπως όλοι κοιτάζουν τον κύκλο και λίγοι βλέπουν τη σταθερά π, έτσι και στο ανοιχτό πρόβλημα, όλοι κοιτάζουν τη λύση και λίγοι βλέπουν τη μεθοδολογία. Ενώ όλη η αξία του προβλήματος βρίσκεται μόνο και μόνο στην επίλυση και όχι στη λύση.
Ο κύκλος δεν είναι σημαντικός ως ζωγραφιά αλλά ως δομή και έννοια. Κάθε απόπειρα που εκμεταλλεύεται μόνο και μόνο το σχήμα δίχως να δει το νοητικό σχήμα, είναι καταδικασμένη στο εικαστικό πλαίσιο. Ο κύκλος αποτελεί μια νοητική πολλαπλότητα, η οποία κρύβεται μέσα στην απλότητα της μορφής του. Χαρακτηριστικό παράδειγμα της διαφοράς που υπάρχει μεταξύ του απλοϊκού και του απλού, ο κύκλος είναι μια ιδιομορφία δίχως ιδιομορφίες. Κάθε σημείο του έχει την ίδια αξία και γεωμετρικά και τοπολογικά, όμως ελέγχεται από ένα άλλο σημείο που λειτουργεί ως ελκυστής στο κέντρο του. Αυτή ακριβώς η ιδιομορφία του κύκλου που δεν είναι πουθενά επειδή είναι παντού, δημιουργεί την έννοια της ισότητας. Βέβαια υπάρχει και η ισομετρική προσέγγιση που δεν εξαρτάται άμεσα από το κέντρο του κύκλου αλλά και αυτή καταλήγει σε αυτό. Με άλλα λόγια, ακόμα και όταν δεν θέτουμε ως κύριο στοιχείο του ορισμού του κύκλου το κέντρο, αυτό επανέρχεται ως εξηγητικό στοιχείο της δομής του κύκλου.
Ο κύκλος ως ανοιχτή δομή και κλειστός κόσμος μπορεί κάλλιστα να λειτουργήσει ως ανοιχτό κλειδί όπως το θέσαμε προηγουμένως. Όμως ερμηνευτικά παραμένει ένας κώδικας που κατανοούν όχι εκείνοι που τον δημιούργησαν αλλά οι άλλοι που τον έσπασαν. Διότι η πολυπλοκότητα του ανοίγματος είναι μεγαλύτερη από το κλείσιμο. Με άλλα λόγια, ακόμα και αν λειτουργεί αποκαλυπτικά ως νοητικό σχήμα, ο κύκλος αναδεικνύεται με την ανακάλυψη του κώδικα. Έτσι ο κύκλος παραμένει κλειστός έως την αποκρυπτογράφησή του από την κρυπτανάλυση. Το παράδοξο όμως είναι ότι δεν κρύβει μια συγκεκριμένη γνώση αλλά μια πολλαπλότητα γνώσης που πρέπει ν’ ανακαλύπτει συνεχώς ο ερευνητής. Έτσι ο κύκλος λειτουργεί και ως καταλυτικό στοιχείο που μετατρέπει ανακαλύψεις σε γνώσεις, ενώ ο ίδιος ως μετασχηματιστής δεν αλλάζει δομή. Είναι σταθερό για τη δράση δίχως αυτό να σημαίνει ότι είναι ένα στατικό στοιχείο. Αντιθέτως, όλη η δυναμική του κύκλου δεν είναι ούτε γεωμετρική ούτε τοπολογική, βρίσκεται σε γνωστικό πεδίο και γι’ αυτόν το λόγο μπορεί ο κύκλος να αποτελεί το σύμβολο των γνωστικών μαθηματικών.