• Groupe
• Hypergroupe
• H_v-groupe
• H_v-anneau
• L’ H_v-anneau < A, +, × > est dual si < A, ×, + > est un H_v-anneau.

La notion de dualité estdonc définie pour deux H_v-anneaux qui ont le même ensembleinitial. Cette notion a été introduite pour la première fois par AchilleDramalidis en 1996.

Il remarque de plus que si ×> est un H_v-anneau avec x × y É { x, y } pour tout (x, y)ÎR² alors < A, +, ×> est dual.

Dans ce cadre plus restrictif quele cadre général il obtient des résultats énumératifs qui ouvrent la voie à desrecherches plus extensives et qui se basent sur des théorèmes qui permettent unélagage rapide de cas à traiter.

Il parvient ainsi à classifiertous les H_v-anneaux à trois éléments de la forme H = {0, 1, a} où 0est le scalaire unité du H_v-groupe < H, + >, et élémentabsorbant du semi-hypergroupe < H, × > et 1 est le scalaireunité du semi-hypergroupe < H, × >.

De même, il classifie sous lesmêmes hypothèses, l’ensemble de tous les hyperannoïdes dans lequell’hyperopération (×)n’est pas distributive par rapport à l’hyperopération (+).

Et il généralise partiellementces résultats en plaçant cette fois la condition que 1 est élément unitaire de< H, ×>.

Nous voyons dans ces résultatsd’une part la nécessité d’avoir peu de calculs à faire car ils sont vérifiés àla main, de minimiser le rôle de l’associativité car elle a un coûtcalculatoire important et d’exploiter la propriété de symétrie qui permet ladualité des hyperanneaux.

Nous pensons que cette catégoried’hyperanneaux est désormais accessible et ce, de manière globale, sans quenous devions passer par des restrictions qui malgré leur caractère théoriquen’en demeurent pas moins un outil pour élaguer les nombreuses branches desarbres.

La possibilité d’effectuer descalculs effectifs et efficaces au moins pour les petits ordres amènera sansaucun doute le domaine à modifier dans le futur ses voies de recherches. Carcertaines catégories ont été, entre autres, étudiées car elles avaient un coûtcalculatoire faible sans que cela n’implique qu’elles étaient intéressantes oufondamentales pour la théorie dans son ensemble. Car les recherchesénumératives montrent par exemple la plus grande importance des hypergroupescycliques et single-power par rapport aux hypergroupes canoniques alors que cefait n’était pas évident pour les théoriciens.