Όποιος θεωρεί ότι ο Αρχιμήδης ήταν απλώς ένας μαθηματικός, δεν γνωρίζει μαθηματικά και δεν ξέρει για παραγωγή έργου. Το πνεύμα του Αρχιμήδη που ανακαλύπτουμε όταν μελετάμε τα Άπαντά του, δεν έχει καμιά σχέση με μία απλή και διαδικαστική μαθηματική σκέψη. Δεν αναζητά μόνο την επίλυση ενός προβλήματος. Είναι ικανός να σκεφτεί για πρώτη φορά το πρόβλημα και να δημιουργήσει τη λύση πριν γίνει η επινόηση του από τους μαθηματικούς και όχι μόνο της εποχής του. Ακόμα και μερικές από τις τεχνικές του ενώ είναι σωστές και κατανοητές εκ των υστέρων, παραμένουν με στοιχεία για τα οποία δεν ξέρουμε με σιγουριά πώς τα ανακάλυψε. Ένα απλό παράδειγμα είναι το εξής. Στην διαδικασία της προσέγγισης του αριθμού π, χρησιμοποιεί δύο ανισότητες για την ρίζα του 3, τις οποίες δεν εξηγεί. Κι αν έχουμε βρει υπολογισμούς που θα μπορούσε να είχε εκτελέσει εκείνη την εποχή, δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι είναι οι ίδιοι. Επίσης για το θέμα του τετραγωνισμού του κύκλου ο Αρχιμήδης δεν έκανε ποτέ το λάθος να θεωρήσει ότι τον έλυσε. Στην πραγματικότητα μάλιστα κατάφερε να αποδείξει μία αντιστοιχία πολυπλοκότητας, πράξη που είναι κυρίαρχη στην τωρινή θεωρία της πολυπλοκότητας. Όμως η καινοτομία του Αρχιμήδη είναι ακόμη πιο εμφανή στον τομέα της ογκομετρίας στη γεωμετρία. Η προσέγγιση του είναι τόσο ριζοσπαστική που μοιάζει με τον απειροστικό λογισμό ενώ αυτός θα εμφανιστεί μόνο πολλούς αιώνες μετά. Έτσι το παράδειγμα του υπολογισμού της σφαίρας σε σχέση με τον κύλινδρο όσον αφορά στον όγκο είναι χαρακτηριστικό. Διότι είναι ικανός να δει διαφορετικά τις τρεις διαστάσεις σε σχέση με την κλασική προσέγγιση των μαθηματικών της εποχής του. Μάλιστα η σκέψη του έχει περισσότερο το στίγμα του πολυμαθή παρά του μαθηματικού και γι’ αυτό το λόγο κατάφερε ν’ ανακαλύψει τόσο ουσιαστικές έννοιες και άφησε πίσω τους άλλους για αιώνες. Η καινοτομία του Αρχιμήδη είναι πρώτα από όλα το αποτέλεσμα της ιδιοφυΐας του που δεν είχε βέβαια μαθηματικά όρια αλλά ήταν ικανή να κατανοήσει τον κόσμο και να επινοήσει μια νοόσφαιρα τόσο αποτελεσματική που άφησε το στίγμα της στην Ανθρωπότητα. Και μάλλον είναι αυτός ο λόγος που ο Leonardo da Vinci τον θεωρούσε ως μοντέλο του.