Un des aspects que nous n’avons pas traité dans notre article intitulé : De l’élémentaire à l’initiation, c’est l’apport de la contrainte formelle. Cet article mettait en évidence l’intérêt d’utiliser des exemples de la théorie élémentaire des nombres afin d’enseigner des instructions de Calcul Formel, et ce, de manière dynamique et interactive. Cependant nous n’avons pas exploité l’aspect créatif de la difficulté engendrée.

La difficulté provient du caractère élémentaire du problème traité. Ce dernier dans de nombreux cas pourrait être traité à la main. Aussi l’utilisation du Calcul Formel est quelque peu paradoxale puisqu’il a été conçu pour aider le chercheur dans des tâches pénibles sans traitement automatique. L’intérêt est tout d’abord didactique puisque nous pouvons mettre en évidence la puissance du formalisme. Néanmoins l’intérêt principal est d’ordre cognitif.

Pour comprendre l’apport cognitif de la contrainte formelle, il suffit de considérer un exemple analogue qui appartient au domaine des constructions géométriques. Il s’agit de la construction au compas seul du milieu de deux points. Alors que cette construction est triviale à l’aide de la règle et du compas, elle devient astucieuse lorsqu’il s’agit d’utiliser uniquement le compas même si nous savons que cela est toujours possible grâce au théorème de Mohr-Mascheroni. La difficulté provient d’une part du fait que le théorème n’est qu’implicite dans le sens où il ne concerne que l’existence, et d’autre part du fait que la simplicité est complexe.

Dans notre cas, la puissance du calcul formel est tout d’abord paralysée devant la caractère élémentaire de la chose. Il faut ensuite l’expérience et l’astuce du programmeur de langage de haut niveau pour découvrir comment enseigner cette nouvelle méthodologie aux étudiants. Car le calcul formel n’est pas véritablement adapté. En effet, il faut nécessairement rechercher des solutions intelligentes pour le réadapter afin de résoudre efficacement non seulement l’exercice lui-même mais sa future généralisation. Car l’avantage de la démarche du calcul formel c’est que par nature son application est généralisable. L’exercice n’est donc pas une fin en soi. Et la difficulté, une fois surmontée, devient un investissement. L’étudiant ne développe pas seulement une stratégie à court terme puisqu’elle est sensée supporter la généralisation. L’effort est donc double : réadaptation et généralisation. Ce double objectif nécessite de plus grandes capacités cognitives comme dans le cas de la construction au compas.

Ainsi la contrainte formelle, une fois analysée correctement, apparaît non pas comme une simple difficulté mais comme un cadre évolutif qui permet de développer ses compétences cognitives grâce au caractère élémentaire d’un problème mathématique et la puissance de l’autre information. Ainsi la suite logique du schéma mental de l’élémentaire à l’initiation est de l’initiation à la création. La contrainte formelle montre de manière explicite que le cadre n’est pas l’objet de la réflexion mais il aide au développement de celle-ci. L’apprentissage des outils n’est donc pas une fin en soi mais la difficulté de cet apprentissage augmente le caractère cognitif de la chose, et c’est cela le véritable but de l’enseignement qui ne peut se contenter d’être un apprentissage.