Στη διδακτική των μαθηματικών αντιμετωπίζουμε μια φοβία εκ μέρους των καθηγητών που προέρχεται από την πεποίθηση ότι οι φοιτητές δεν έχουν τις αρμόδιες ικανότητες στον τομέα των μαθηματικών. Οι ίδιοι όμως ξεχνούν ότι και τα μαθηματικά έχουν τη δική τους ορολογία και τεχνική που εμποδίζει τους φοιτητές δίχως αυτό να σημαίνει ότι έχουν φτάσει τα όρια τους όσον αφορά στις γνωστικές τους ικανότητες. Μια αλλαγή προσέγγισης του αρχικού προβλήματος ή θέματος επιτρέπει στον φοιτητή να ενισχύσει το γνωστικό του επίπεδο, το οποίο θα εφοδιάσει μεταγενέστερα με μαθηματικές γνώσεις.

Μελετήσαμε δύο περιπτώσεις στα μαθήματά μας στο πανεπιστήμιο της Θράκης. Η πρώτη στα πλαίσια του μαθήματος θεωρίας ομάδων μάς επέτρεψε να εξετάσουμε τις γνωστικές ικανότητες των φοιτητών στον τομέα της ισομετρίας. Οι δυσκολίες δεν προέρχονται ούτε από τις ίδιες τις συμμετρίες και περιστροφές αλλά από τον συνδυασμό τους με τις διαστάσεις του διαστήματος. Ο μη καθορισμός των δύο οικογενειών εμποδίζει τη γνωστική αφαίρεση. Συνεπώς είναι απαραίτητη η μελέτη των αμετάβλητων χώρων ειδικά όταν εξετάζουμε ποιες ισομετρίες αφήνουν αναλλοίωτα τα κανονικά πολύγωνα. Η αναφορά στις διεδρικές ομάδες γίνεται μόνο και μόνο στο τέλος της διαδικασίας εφόσον οι φοιτητές έχουν ανακαλύψει τα χαρακτηριστικά των πινάκων του Cayley . Η άλλη περίπτωση αφορά τη θεωρία συνόλων και ειδικά τον ρόλο των συνδυασμών με πεπερασμένο αριθμό στοιχείων. Η έννοια του δυναμοσύνολου που δεν είναι άμεσα προσβάσιμη για τους φοιτητές μπορεί να ερμηνευτεί με τα εργαλεία της συνδυαστικής. Οι συνδυασμοί αν και μη άμεσοι και αυτοί, μέσω της μεθοδολογίας του Grothendieck μπορούν να ενσωματωθούν σε μια συντονισμένη στρατηγική μάθηση που χρησιμοποιεί και το τρίγωνο του Pascal και τον τύπο του Leibniz . Δίχως να καθορίσουμε μονοσήμαντα κάθε μια από τις μαθηματικές έννοιες, το σύμπλεγμα μάς επιτρέπει να δημιουργήσουμε ένα αποτελεσματικό πλαίσιο για την ανάδειξη της αναζητούμενης έννοιας χωρίς να υπάρξουν τεχνικά προβλήματα μαθηματικών για τους φοιτητές.

Οι δύο περιπτώσεις δείχνουν ότι μέσω της συνειδητοποίησης του γνωστικού ορίου, η διδακτική των μαθηματικών μπορεί να υπερπηδήσει τη δυσκολία της μαθηματικής τεχνικής και να βοηθήσει τον φοιτητή να ξεπεράσει τα αναμενόμενα εμπόδια. Το γινόμενο της πράξης μαθηματικά και γνωστικά δεν είναι συμμετρικό ως προς τα δύο αντικείμενα διότι η πράξη δεν είναι αντιμεταθετική. Συνεπώς ο μέντορας πρέπει να ελαχιστοποιεί τη μαθηματική δυσκολία μέσω του γνωστικού επιπέδου κάνοντας χρήση της ασυμμετρίας των δεδομένων. Αυτή η μεθοδολογία γίνεται ακόμα πιο αποτελεσματική με τα γνωστικά και τα οπτικά μαθηματικά όπου δίνεται έμφαση στον νοητικό προβληματισμό σε σχέση με την πολυπλοκότητα του μαθηματικού αντικειμένου και εργαλείου. Η γνώση του γνωστικού ορίου δημιουργεί το πλαίσιο ανάπτυξης μιας διαφορετικής μεθοδολογίας. Άρα το εμπόδιο βοηθάει.