Η επιστολή του Carathéodory που στάλθηκε στον Hilbert από το Breslau στις 12/12/1912 ανήκει στο πλαίσιο της διαμάχης Hilbert-Pringsheim. Ο Carathéodory κάνει μία αναφορά στον Hilbert για τις αντιρρήσεις του φυσικού. Ο Hilbert τού είχε ζητήσει να παρουσιάσει την εργασία στο συνέδριο φυσικών του Breslau τον Νοέμβριο του 1912. Ο Carathéodory δεν μπόρεσε να πείσει τους φυσικούς για την ορθότητα της προσέγγισης του Hilbert. Όπως το εξηγεί ο ίδιος στην επιστολή του, είναι μόνο μετά από πολλές προσπάθειες και συζητήσεις που κατάφερε να ενοποιήσει όλες τις αντιρρήσεις σε μία, στην οποία δεν μπόρεσε ν’ απαντήσει. Η εξήγηση αυτής της κριτικής των φυσικών είναι η ουσία της επιστολής. Με τη γενική θεωρία ολοκληρωτικών εξισώσεων που χρησιμοποιεί ο Hilbert, μέσω του τύπου

μπορεί να αποδείξει τον νόμο του Kirchoff: q2η/α = σταθερά. Όμως αυτός ο τρόπος απόδειξης δεν είναι προσβάσιμος από τη φυσική και κλασική νοοτροπία. Συνεπώς ο Carathéodory προσπαθεί να εξηγήσει κάθε βήμα με ακρίβεια. Στο τέταρτο μέρος της επιστολής, δηλαδή πριν το πέμπτο όπου καταγράφει τον τύπο του Hilbert:

αναλύει την εκπεμφθείσα και την απορροφηθείσα ενέργεια και καταλήγει στην εξίσωση:Και εξηγεί ότι: Planck versucht, wenn ich nicht irre, zu zeigen, dass Δi – Δη = 0 ist, indem er von einem homogenen Medium ausgeht, für welches die Gleichnung sicher besteht. Και προσθέτει μια δική του ιδέα: Vielleicht ist es möglich, dies auch direkt und allgemein zu zeigen ; dann hätte man , was zu Ihrer Integralgleichung (8) p.7 der Gött. Ber. führen würde. Εδώ όμως πρέπει να επισημάνουμε ένα λάθος του βιβλίου 50 επιστολές… όπου διαβάζουμε και στη γερμανική καταγραφή και στην ελληνική μετάφραση . Αν και το λάθος είναι τυπογραφικό, εμφανίζεται δύο φορές.
Η πρόσβαση στο χειρόγραφο στη βιβλιοθήκη του Göttingen μάς επέτρεψε μέσω της γραφολογικής ανάλυσης να κατανοήσουμε το λάθος. Όπως υπάρχουν μικρές διαφορές μεταξύ των πρώτων γραμμάτων του ελληνικού (α) και γερμανικού (a) αλφαβήτου, υπάρχουν και ομοιότητες με το γράμμα (η) και το γράμμα (u) ειδικά στα χειρόγραφα. Συνεπώς το (η) του Carathéodory μοιάζει με το (u) όπως για κάθε Γερμανό μαθηματικό εκείνης της εποχής. Μόνο που το (u) μοιάζει πάρα πολύ και με το (α) στα γερμανικά. Στο χειρόγραφο του Carathéodory, το (α) δεν είναι εντελώς κλειστό, πράγμα το οποίο το κάνει να μοιάζει ακόμα περισσότερο με το (u), το οποίο αντιπροσωπεύει το (η). Όμως αυτό το λάθος δημιουργεί την εντύπωση ότι η ιδέα του Carathéodory είναι λανθασμένη, πράγμα το οποίο δεν ισχύει. Τελικά η ιδέα του Carathéodory ισχύει όντως και συνεχίζει την προσπάθεια του Planck την οποία συνδέει με την προσέγγιση του Hilbert.