Στο περίφημο άρθρο του με τίτλο: Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik (Mathematische Annalen, 67, 1909), ο Carathéodory δίνει μια μοντέρνα ερμηνεία του ορισμού της εντροπίας. Με την πάροδο του χρόνου, η θερμοδυναμική αναπτύχθηκε και άγγιξε πολλούς τομείς της φυσικής και αναπόφευκτα έγινε γενικότερα γνωστικό αντικείμενο. Συνεπώς με μία θεωρία που καλύπτει πλέον τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα, τις χημικές αντιδράσεις, τις ελαστικές διαδικασίες και τις αλλαγές φάσης, έπρεπε να γίνει μια γενική και θεμελιώδης αναθεώρηση. Πρέπει επιπλέον να επισημάνουμε ότι η θερμοδυναμική επηρέασε ακόμα και τη γενική σχετικότητα μερικά χρόνια μετά. Γενικά το έργο και τα αποτελέσματα ερευνητών όπως οι Gibbs, Helmholtz και Lorentz πίεζαν το όλο πλαίσιο. Δεν γινόταν πια, οι βάσεις της θερμοδυναμικής να είναι μόνο τα πειράματα των μηχανικών. Οι μηχανές ατμού είχαν εξαντληθεί ως μοντέλα θεωρητικής φυσικής. Ο Carathéodory που θεωρείται ως ο πνευματικός γιος του Klein και του Hilbert δεν μπορούσε ν’ ακολουθήσει τη συμβατική μεθοδολογία των φυσικών. Το γενικό πλαίσιο των μαθηματικών όπως και το απέδειξαν τα 23 προβλήματα του Hilbert ήταν μια γενικευμένη αξιωματική προσπάθεια για τη θεμελίωση του γνωστικού τομέα. Ακόμα και αν η προσέγγιση του Carathéodory δεν ήταν συμβατική για τους φυσικούς, ήταν κλασική για τη μαθηματική σχολή του Hilbert. Ο Hilbert μελέτησε αξιωματικά τη γεωμετρία και απέδειξε την αποτελεσματικότητα της μεθοδολογίας του. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι δεν υπήρχαν και άλλες απόψεις όπως εκείνη του Brouwer. Από την πλευρά της φυσικής, ο Carathéodory δέχτηκε τη μεγαλύτερη επιρροή από τον Born. Ο Max Born θεωρούσε όντως ότι η συμβατική προσέγγιση της θερμοδυναμικής απείχε πολύ από τη νοοτροπία της θεωρητικής φυσικής. Ο Carathéodory ακολούθησε πιστά τη σχολή του Hilbert και ανέδειξε διάφορες πτυχές της θερμοδυναμικής. Η κεντρική ιδέα της αξιωματικής του προσέγγισης είναι οι ιδιότητες ολοκληρωσιμότητας των διαφορικών του Pfaff. Η μαθηματική του αναθεώρηση του δεύτερου νόμου της θερμοδυναμικής εκφράζεται ως εξής : Για κάθε κατάσταση ισορροπίας, στην τοπολογική γειτονιά της υπάρχουν αδιαβατικά απρόσιτες καταστάσεις ισορροπίας. Από αυτήν την ιδέα συνεπάγεται η ύπαρξη της εντροπίας. Αν και ερευνητές όπως οι Born, Lande και Chandrasekhar αναγνώρισαν το βάθος της προσέγγισής του, η μαθηματική δυσκολία των υπολογισμών του Carathéodory, δεν επέτρεψε τη γρήγορη εξάπλωση των ιδεών του. Μόνο όταν οι Turner, Sears και Landsberg την απλοποίησαν, ο νέος ορισμός του της εντροπίας, έγινε ευρύτερα γνωστός και αναφέρεται πια σε βιβλία θερμοδυναμικής. Η προσέγγιση του Carathéodory που ακολούθησε τις ιδέες του Hilbert αλλά και του Minkowski περί αξιωματικής, έδωσε γερά θεμέλια στη θερμοδυναμική. Την καθιέρωσε ως μαθηματικοποιημένο φυσικό αντικείμενο. Η συμβολή του Carathéodory είναι λοιπόν θεμελιακή με όλη τη σημασία της έννοιας.