Για να κατανοήσουμε αποτελεσματικά το μαθηματικό υπόβαθρο του Αλεξάνδρου Καραθεοδωρή, πρέπει να εξετάσουμε τις αναφορές του σε διάφορους τομείς. Έχουμε ήδη αναλύσει την άλγεβρα κι εδώ θα παρουσιάσουμε την περίπτωση της ανάλυσης. Στα έγγραφα του Καραθεοδωρή υπάρχουν πολλών ειδών αναφορές στην ανάλυση. Γνωρίζει τους λογαρίθμους και αναφέρεται γνωστικά στον Neper (βλ. φωτογραφία).

Μελετά τις αλγεβρικές και υπερβατικές καμπύλες (βλ. φωτογραφία).

Αναλύει ειδικά την περίπτωση της λεμνισκάτης, αλλά και την καμπύλη του διαβόλου που έχει ως εξίσωση: y⁴ – 96y² + 100x² – x⁴ = 0 (βλ. φωτογραφία).

Επιπλέον, κάνει μια μεγάλη ανάλυση του θεωρήματος του Taylor (βλ. φωτογραφία).

Αυτό σημαίνει έμμεσα ότι κατέχει και διάφορα αποτελέσματα του Euler, όπως το επιβεβαιώνει και η σημαντική αναφορά στις μεθόδους του Arbogast.

Ο Louis François Antoine Arbogast ήταν Γάλλος μαθηματικός [Mutzig 04/10/1759, Strasbourg 18/04/1803]. Έγινε γνωστός με την συμμετοχή του στον διαγωνισμό της Ακαδημίας του Petersberg. Εκεί κατάφερε να ξεπεράσει το έργο του Euler στον τομέα των συναρτήσεων και ειδικά των ασυνεχών όπου γενίκευσε την έννοια του Euler. Ο Arbogast με την καινούργια του έννοια, ενσωμάτωνε και συναρτήσεις αποτελούμενες από διάφορες καμπύλες. Αυτήν την έννοια μελέτησε και ο Cauchy. Κατάφερε επιπλέον να δημιουργήσει ένα γενικότερο πλαίσιο ανάλυσης των υπολογισμών του Lagrange και Laplace, ερμηνεύοντάς τους ως σύμβολα τελεστών. Στην ουσία, επινόησε τον διαχωρισμό των τελεστών και των συναρτήσεων τελεστών από τις συναρτήσεις όπου δρούσαν. Ο Arbogast είχε κι ένα άλλο ενδιαφέρον που μπορεί να ερέθισε τον Αλέξανδρο Καραθεοδωρή. Ασχολήθηκε εντατικά με την ιστορία των μαθηματικών και μεταξύ άλλων ταξινόμησε τα έγγραφα του Mersenne. Κι έκανε συλλογή δοκιμίων και επιστολών των Bernoulli, Descartes, Fermat και de l’Hôpital.

Στα έγγραφα του Αλεξάνδρου Καραθεοδωρή βρίσκουμε την εξής φράση:
[Pour le développement des fonctions on peut faire usage des méthodes d’Arbogast.]
[Για το ανάπτυγμα των συναρτήσεων μπορούμε να κάνουμε χρήση των μεθόδων του Arbogast.]

Σε άλλο έγγραφο του Αλεξάνδρου Καραθεοδωρή, βρίσκουμε αναφορά στον Boucharlat (βλ. φωτογραφία).

Ο Jean-Louis Boucharlat ήταν Γάλλος μαθηματικός [1775-1848], γνωστός ακόμα και σε αγγλόφωνες χώρες από τη μετάφραση του βιβλίου του από τον Edward Courtenay [1803-1853]: An Elementary Treatise on Mechanics (1833). Αν αναφέρουμε αυτό το σύγγραμμα είναι διότι μάς δίνει μία άλλη ευκαιρία να συνδέσουμε τον Αλέξανδρο Καραθεοδωρή με τον μαθηματικό Κωνσταντίνο Καραθεοδωρή που ξεκίνησε τις σπουδές του με μηχανική. Δεν είναι λοιπόν μία αναφορά που ανήκει ακριβώς στην ανάλυση. Η ύπαρξή της, όμως, εξηγείται και από το ενδιαφέρον του Αλεξάνδρου Καραθεοδωρή για τις κωνικές τομές σε σχέση με τη μετάφρασή του των περσικών σημειώσεων:

Traité du Quadrilatère, attribué à Nassiruddin-El-Toussy. Constantinople 1891 Αυτές οι αναφορές αναδεικνύουν το ελάχιστο όριο του μαθηματικού επιπέδου του Αλεξάνδρου Καραθεοδωρή και βλέπουμε ήδη ότι είναι ψηλό ακόμα και αν ήταν επίσημα διπλωμάτης.