L’approche de Constantin Carathéodory dans le domaine du Calcul des Variations est non seulement classique mais aussi historique. Il est vrai qu’il fut élève de Félix Klein mais aussi de David Hilbert aussi cela n’est pas vraiment surprenant. Le plus important demeure tout de même la profondeur du recul qu’il possède lorsqu’il traite ce domaine. Il admire Bernoulli et Euler mais il est conscient que leurs méthodes « si ingénieuses » ne sont désormais « que des outils à peine ébauchés » devant l’algorithme du Calcul des Variations développé par Lagrange. Néanmoins il précise dans son article sur les points singuliers du problème du Calcul des Variations dans le plan que même cette méthode n’est pas parfaite. Cette mise en évidence a été effectuée par les recherches de Jacobi, de Legendre et de Weierstrass. En réalité, le problème général qu’affronte l’approche de Lagrange c’est celui de la discontinuité. Celui-ci crée une rupture en raison de la nécessité de la différentiabilité de la méthode. En effet, les solutions analytiques ne constituent pas l’ensemble des solutions. Au sein de celui-ci, nous trouvons aussi ce que Constantin Carathéodory nomme « polygones curvilignes » Comme il le précise ce phénomène est tout à fait général. Une manière de l’exprimer, c’est la suivante : « les solutions fortes présentent en général toutes sans exception des points anguleux pourvu qu’on les prolonge suffisamment ».

La suite de son exposé montre qu’il connaît parfaitement les travaux de l’école française de mathématiques. Il cite tout d’abord l’article de Lebesgue : Intégrale, longueur, aire. Ensuite il utilise le Cours d’Analyse infinitésimale de la Vallée Poussin. Puis il exploite les Leçons sur la théorie des Surfaces de Darboux. Enfin, même lorsqu’il mentionne l’indicatrice de Weierstrass, il sait que Hadamard la désigne sous le nom de fiigurative.

De cette manière, Carathéodory montre qu’il maîtrise parfaitement le domaine et pas seulement le sujet. C’est d’ailleurs sa vision d’ensemble et sa volonté d’être le plus clair possible qui l’amène à résumer les formules nécessaires à son exposé qu’il tire des traités de Bolza et Hadamard. Il signale aussi dans la conclusion de son article que la théorie des points conjugués peut être étendus aux solutions continues ou discontinues comme il l’avait montré dans sa dissertation et comme elle a été développée par Bolza et Dresden mais seulement dans un cas particulier. Cela montre à quel point sa thèse était innovante pour le domaine.

Malgré tout le style de Carathéodory est toujours aussi sobre et discret. Même s’il parvient à remplacer aisément dans la condition de Weierstrass une fonction à deux variables pour un nombre fini de fonctions à une seule variable, rendant ainsi plus efficace la complexité calculatoire du processus, sa façon de présenter son théorème est tout à fait caractéristique. De même sa capacité à transformer les données, en interprétations qui enrichissent le domaine est absolument remarquable. Il navigue aisément aussi bien en analyse qu’en géométrie pour recadrer les tactiques de résolution de problèmes et cela lui permet d’embrasser d’embrasser l’ensemble du champ du Calcul des Variations.