Το βιβλίο του Κ. Καραθεοδωρή με τίτλο Conformal Representation εκδόθηκε για πρώτη φορά το 1932 (Cambridge University Press). Είναι το γενικό αποτέλεσμα των διαλέξεων που έκανε στο Göttingen, Βερολίνο, Αθήνα, Μόναχο και Harvard. Το χειρόγραφο ήταν στα γερμανικά και μεταφράστηκε από τον B. M. Wilson και την M. Kennedy. Τον πρόλογο τον έγραψε στην Αθήνα τον Δεκέμβρη του 1931. Η δεύτερη έκδοση, που έγινε το 1952, διαφέρει από την πρώτη, με το κεφάλαιο που αφορά στο θεώρημα του Poincaré και Koebe. Ο Κ. Καραθεοδωρή επισημαίνει στον δεύτερο πρόλογο ότι κατάφερε να κάνει ένα σύντομο κεφάλαιο χάρις στην πανέμορφη απόδειξη του van der Waerden. Ως αποτέλεσμα των αποστολών μας με το Υπουργείο Εξωτερικών, το Μουσείο Καραθεοδωρή διαθέτει, τώρα, ένα βιβλίο της έκδοσης του 1952 και ένα βιβλίο της επανέκδοσης του 1958.

Ο Κ. Καραθεοδωρή αρχίζει το βιβλίο του με ιστορική περίληψη, αντί εισαγωγής. Εξηγεί τη μαθηματική ετυμολογία του ορισμού σύμμορφων μετασχηματισμών της ισογώνιας απεικόνισης η οποία είναι και συνεχής διαφοροποιήσιμη (isogonal, winkeltreu). Η πρώτη σύμμορφη απεικόνιση είναι η στερεογραφική προβολή της σφαίρας που χρησιμοποίησε ο Πτολεμαίος. Μια διαφορετική σύμμορφη απεικόνιση είναι αυτή που επινόησε ο Mercator (1512-1594) το 1568. Αυτά όσον αφορά στα εμπειρικά στοιχεία της θεωρίας. Η πραγματική αρχή της θεωρίας έρχεται με τον Lagrange (1736-1813), ο οποίος κατάφερε να βρει όλες τις σύμμορφες απεικονίσεις ενός τμήματος της επιφάνειας της γης σε ένα επίπεδο, όπου όλοι οι κύκλοι του γεωμετρικού πλάτους και μήκους απεικονίζονται με κύκλους. Και είναι μόνο το 1822 που ο Gauss (1777-1855) έθεσε και έλυσε εντελώς το γενικό πρόβλημα της εύρεσης όλων των σύμμορφων απεικονίσεων που μετατρέπουν μια αρκετά μικρή γειτονιά ενός σημείου, μιας αυθαίρετης αναλυτικής επιφάνειας, σε μια επίπεδη επιφάνεια. Αν και φαινομενικά, όπως το περιγράφει ο Κ. Καραθεοδωρή, ο Gauss έλυσε όλο το πρόβλημα, στην πραγματικότητα παρέμεινε άλυτο το ερώτημα της απεικόνισης ενός πεπερασμένου τμήματος μιας επιφάνειας σε ένα τμήμα του επιπέδου. Αυτό το επισήμανε για πρώτη φορά ο Riemann (1826-1866) στη διατριβή του το 1851. Οι ιδέες του Riemann αποτελούν τώρα το υπόβαθρο της όλης θεωρίας και συμβάλλουν και θεαματικά στη θεωρία συναρτήσεων. Ο Riemann απέδειξε ότι κάθε απλή, συνεκτική, επίπεδη επιφάνεια που δεν εμπεριέχει όλο το επίπεδο μπορεί να απεικονιστεί σύμμορφη στο εσωτερικό ενός κύκλου. Η απόδειξή του, όμως, θεωρεί ως αυτονόητο ότι τα προβλήματα του λογισμού μεταβολών έχουν πάντα λύση, πράγμα το οποίο δεν είναι σωστό, όπως το παρατήρησε ο Weierstrass (1815-1894). Όντως, σχετικά απλά προβλήματα του λογισμού μεταβολών δεν έχουν λύση. Παρόλα αυτά, στη συνέχεια, ο Hilbert απέδειξε ότι το συγκεκριμένο πρόβλημα του Riemann έχει όντως λύση. Και αυτό το θεώρημα είναι γνωστό ως Αρχή του Dirichlet.Τα αποτελέσματα του Riemann επαληθεύτηκαν και με τις προσεγγίσεις του Neumann και του Schwarz. Ο τελευταίος χρησιμοποίησε τη θεωρία του λογαριθμικού δυναμικού, η οποία εμπεριέχει περίπλοκα συμπεράσματα. Το βιβλίο του Κ. Καραθεοδωρή κάνει χρήση άλλων θεωριών και προσεγγίσεων που απλοποιούν αποτελεσματικά τα πράγματα.