Η εικασία του Goldbach απέκτησε τη μορφή που γνωρίζουμε τώρα, μετά από την παρέμβαση
του Euler (1707 – 1783). Όταν του έγραψε, ο Goldbach (1690 – 1764) την εξέφρασε με άλλον τρόπο.
Η αλληλογραφία τους άρχισε το 1729. Ενώ η επιστολή στην οποία κάνουμε αναφορά στάλθηκε το 1742.
Το απόσπασμα, στο οποίο ο Goldbach εξηγεί την εικασία του και δίνει παραδείγματα

«Auf solche Weise will ich auch eine conjoncture hazardiren : dass, jede Zahl, welche aus zweiyen numeris primis zusammengesetzt ist, ein aggregatum so vieler numerorum primorium sey, als man will (die unitatem mit dazu gerechnet), bis auf die congeriem omnium unitatum*).»

Πριν κάνει την ουσιαστική του παρατήρηση, δίνει τα εξής παραδείγματα:

« zum Exempel »

4=   1+3                          5=   2+3                           6=    1+5
       1+1+2                             1+1+3                               1+2+3
       1+1+1+1                         1+1+1+2                            1+1+1+3
                                             1+1+1+1+1                        1+1+1+1+2
                                                                                      1+1+1+1+1+1

Στην πραγματικότητα, τα παραδείγματά του δεν είναι χαρακτηριστικά του προβλήματος.
Αλλά είχαν ήδη την ιδιότητα του διαμερισμού. Ας εξετάσουμε τώρα την τελική παρατήρηση.
Ας εξετάσουμε τώρα την τελική παρατήρηση.

«Nachdem ich dieses wieder durchgelesen, finde ich, das sich die conjecture in summo rigore demonstriren lässet in casu n + 1, si successerit in casu n, et n + 1dividi possit in duos numeros primos. Die Demonstration ist sehr leicht. Es scheinet wenigstens, dass eine jede Zahl, die grösser ist als 1, in aggregaturm trium numerorum primorum sey.»

Η δυσκολία για τον Euler δεν είναι η ίδια η εικασία αλλά η έλλειψη γνώσεων όσον αφορά στις εικασίες του Goldbach, οι οποίες μπορεί και να μην είναι σωστές, καθώς έγινε και με τον Fermat όσον αφορά στους αριθμούς του. Μια άλλη επιστολή του Goldbach, την οποία έστειλε στις 18 Νοεμβρίου 1752 δηλώνει ότι κάθε περιττός αριθμός γράφεται ως εξής:

2n^2 + p όπου p είναι πρώτος

Στις 16 Δεκεμβρίου 1752, ο Euler επιβεβαίωσε την εικασία για Ν <= 1000.
Και στις 3 Απριλίου 1753, έγραψε ότι ισχύει και για Ν <= 2500. Όμως το 1856 ο Stern απέδειξε ότι δεν ισχύει για Ν=5777, Ν=5993. Το εξής πρόγραμμα που γράψαμε σε γλώσσα Maple αποδεικνύει ότι δεν υπάρχει άλλο αντιπαράδειγμα για Ν <= 30.000 σε μερικά δευτερόλεπτα. (βλ. Πρόγραμμα) #La conjecture de Goldbach 2N+1=2i^2+p est fausse pour 5777, 5993
gold_test: = proc (N::integer)
local i:
 for i from 0 to trunk (sqrt(N)) do
  if is prime (N-2*i^2) then RETURN(NULL) fi:
  N
 od:
end:
for N from 3 by 2 to 6000 do
 gold test(N)
od;