Στο βιβλίο του Αρχιμήδη Περί σφαίρας και κυλίνδρου, βρίσκουμε τα εξής λαμβανόμενα, τα οποία διαχωρίζονται απο τα αξιώματα του.

«τά αυτά πέρατα ’εχουσών γραμμών ’ελαχίστην είναι τήν ευθείαν»

«‛Ομοίως δέ καί των ’επιφανειών των τά αυτά πέρατα ’εχουσών, ’εάν ’εν επιπέδω τά πέρατα ’έχωσιν, ’ελάσσονα είναι τήν ’επίπεδον».

Η πρώτη παρατήρησή μας αφορά στην αφαιρετικότητα της προσέγγισης του Αρχιμήδη. Αρχικά, τα λαμβανόμενα του δεν είναι αξίωμα, πράγμα το οποίο επισημαίνει με θεωρητική δυσκολία. Ύστερα,  παρατηρούμε ότι δεν χρησημοποιεί τον πιο εύκολο ορισμό του Ευκλείδη. Επιπλέον, κάνει χρήση της έννοιας της γεωδαισιακής δίχως να δηλώνει κάποια μοναδικότητα της κατασκευής. Αυτό το σημείο είναι σημαντικό διότι μπορεί άνετα να γενικεύτει και να ερμηνευτεί και σ’ άλλο χώρο, ο οποίος να μην είναι ευκλείδειος.

Ας εξετάσουμε το παράδειγμα της σφαίρας αλλά με την προσέγγιση του Riemann. Θεωρούμε δύο σημεία πάνω στην σφαίρα. Το πιο σύντομο μονοπάτι που τα ενώνει είναι ένα τόξο μεγάλου κύκλου, δηλαδή ενός κύκλου με κέντρο το κέντρο της σφαίρας και με ακτίνα την ακτίνα της σφαίρας. Σε αυτό το χώρο, μη ευκλείδειο, αυτός είναι ο ορισμός της ευθείας που συμπίπτει με τον ορισμό του Αρχιμήδη. Προσέχουμε επιπλέον ότι αν τα δύο σημεία είναι οι πόλοι της σφαίρας τότε το μονοπάτι δεν είναι μοναδικό. Αυτή η ιδιότητα είναι σημαντική για την μελέτη των γεωμετρικών χώρων. Βλέπουμε ότι το λαμβανόμενο του Αρχιμήδη αντέχει την γενίκευση και αποτελεί χάρη σ’αυτό μια δομή χρήσιμη, κατά την προσέγγιση του Grothendieck, για μέλλουσες αποδείξεις.

Όσον αφορά στις επιφάνειες που θεωρεί ο ίδιος ο Αρχιμήδης ως ένα αναλογικό σχήμα σε σχέση με την ευθεία, παρατηρούμε ότι προσθέτει την συνθήκη του επιπέδου για τα άκρα. Αυτό σημαίνει πρώτο ότι διαχωρίζει την οντότητα με την ιδιότητα και δεύτερον ότι αντιλαμβάνεται ότι μόνο σε αυτήν την περίπτωση, ορίζει ένα επίπεδο. Κι έχει απόλυτο δίκιο ακόμα και σ’έναν ευκλείδειο χώρο. Διότι το πρόβλημα στις  γενικές συνθήκες της ελαχιστοποίησης μιάς επιφάνειας, η οποία περνά από δοσμένα σημεία όχι μόνο είναι ένας ολόκληρος κλάδος των μαθηματικών αλλά επιπλέον, η επίλυσή του μπορεί να είναι αφάνταστα δύσκολη.

 Αυτές οι παρατηρήσεις πάνω στα γεωδαισιακά λαμβανόμενα του Αρχιμήδη, αναδεικνύουν τη διάθεση του να βρεί αποδεικτικές διαδικασίες, για να θέσει σωστά κι ορθά την έννοια του θεωρήματος, η οποία είναι η βάση των μαθηματικών. Η προσέγγιση του Αρχιμήδη, αν και δεν είναι αξιωματική με την έννοια του Hilbert, είναι όμως καθαρά μαθηματική με την θεωρητική έννοια.