Je veux noter, en écrivant ce texte ici, que je verrai maintenant les problèmes de logique (mathématique) de manière différente, même si je ne possède pas une bonne théorie pour travailler dessus (en espérant que je compléterais et publierais cela de mon vivant !)

En particulier, une idée simple qui m’est venue c’est que (dans les mots et la rédaction du langage humain normal) dans la simple addition d’un axiome supplémentaire à un ensemble initial d’axiomes d’un axiome additionnel disant « La liste des axiomes spécifiés précédemment à cet axiome forme un ensemble cohérent d’axiomes, et de plus avec cet axiome inclus lui aussi dans l’ensemble complet d’axiomes l’ensemble entier des axiomes reste consistant. »

Il est facile de noter que cet « axiome additionnel » n’est pas exprimé à l’aide de symboles logiques et d’une notation, mais plutôt simplement à l’aide de mots de la communication du langage humain. (L’Anglais, plutôt que le Français ou un autre langage n’est pas essentiel ici.)

L’incomplétude de Goedel découle de l’insuffisance du système de Russell et Whitehead a affirmer sa propre consistance.

Mais il est naturel pour chacun qui accepte pour l’usage un ensemble d’axiomes de présumer aussi et/ou d’accepter le concept de la consistance de ces axiomes (par exemple la consistance des axiomes de la Géométrie Euclidienne).

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Un autre concept notable, en relation avec le problème de la « complétude » d’un système de la logique, c’est celui des « axiomes d’infinis » en relation avec l’étude des problèmes de la « théorie des ensembles ». Si tous les axiomes possibles d’infini n’ont pas déjà été inclus (si cela est possible) dans les fondements axiomatiques d’un système alors il est relativement clair qu’un axiome spécifiant l’existence, par exemple, d’un nombre plus grand, pourrait être ajouté aux axiomes d’un système avec élargissement. (Ceci est en relation avec le paradoxe « Burali-Forti ».)

Et il peut y avoir incomplétude à travers des situations où nous semblons avoir des options qui n’affectent pas « la théorie des nombres » (par exemple) mais nous permet de croire ou pas à la validité de « l’Axiome du choix ».