Вопрос о нахождении последовательных простых чисел арифметической прогрессии является одной из задач теории чисел, в основе которой лежит теорема Dirichlet, сформулированная в 1837 г. Если a и b целые положительные и простые по отношению друг к другу числа, то арифметическая прогрессия a, a+b, a+2b, a+3b,……, содержит бесконечное множество простых чисел.
Идея последовательности возникла с трудами van der Corput и Chowla, в 1939 и 1944 гг., где доказывается, что теорема Dirichlet выполняется для трех последовательных членов. Понадобилось много лет, чтоб в 2004 г. Green и Tao доказали, что существуют арифметические прогрессии с произвольно большим множеством простых чисел. Здесь проблема заключается в том, что сама теорема Dirichlet не является достаточной для обнаружения последовательных простых чисел в арифметической прогрессии. Для того, чтобы ощутить данную фундаментальную сложность, достаточно сказать, что теорема не доказана даже для трех простых чисел данного типа. Что же касается вычислительной области, то здесь трудность не меньше, как это следует из результатов , указанных ниже.
Первое достижение наблюдается в 1967г. W.J.Blundon, M.F.Jones и M.Lal находят 5 последовательных простых чисел в арифметической прогрессии: 1010+24493+30к , к=0,1,2,3,4. В том же году L.J.Lander и T.R.Parkin находят 6 чисел в прогресии: 121174811+30к , к=0,1,2,3,4,5. Для нахождения 7-и чисел, в Августе 1995г., понадобилось почти 10 лет работы ,в рамках инновационной идеи, предложенной H.Dubner и H.Nelson. Данный результат мог бы оказаться мировым рекордом на много лет, если бы не новый подход, найденный группой H.Dubner, T.Forbes, N.Ligeros, M.Mizony, P.Zimmermann, открывшей последовательно 8, 9 и 10 последовательных простых чисел арифметической прогрессии в Ноябре 1997, в Январе 1988 и в Марте 1988гг. С тех пор не был найден метод, позволяющий обнаружить 11 простых чисел. Временной интервал, необходимый для такого обнаружения в рамках того же метода, оценивается в миллиарды лет, что вынуждает нас искать новые подходы к решению данной задачи.

Records in combinatorics, number theory and algebra

Consecutive Primes in Arithmetic Progression

Ten consecutive primes in arithmetic progression