7762 - L’apport de la théorie des posets à la théorie des jeux

N. Lygeros

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Dans la théorie des jeux il est nécessaire d’introduire de manière objective des notions telles que celles de domination ou d’effectivité. Il en est de même pour la notion d’essentiel. Seulement, pour ce faire, il est indispensable d’avoir un cadre formel qui permette clairement l’identification de ces propriétés lorsqu’elles jouent un rôle. Une manière de procéder consiste à plonger la théorie des jeux dans la théorie des posets qui impose une notion d’ordre même si celui-ci est partiel sur des ensembles donnés. Cela nous amène à la notion de comparabilité qui représente un substrat pour les notions mentionnées ci-dessus. En effet, avant de choisir, il faut être capable de choisir, cela ramène à un calcul sur un graphe de comparabilité et si l’ordre doit être compatible avec les axiomes de réflexivité, d’antisymétrie et de transitivité, alors nous avons obligatoirement un poset. En d’autres termes, il est possible de comparer deux entités de la théorie des jeux en se ramenant à leurs composantes et en exigeant par exemple, un résultat universel sur celles-ci dans le cadre de la théorie des posets. Ce procédé permet d’examiner de manière effective si un ensemble donné correspond à une solution dans un jeu et même si cette solution constitue un équilibre. Cela donne une méthode pour définir proprement la notion de domination. De manière générale, nous avons grâce à la théorie des posets, des critères qui permettent d’établir des propriétés des ensembles de la théorie des jeux, via le concept du certainement nécessaire ou du certainement non nécessaire. Il est possible d’interpréter cela comme la trace de l’existence d’une chaîne (ordre total) ou d’une antichaîne (ensemble d’incomparables). Ainsi il est naturel de traiter les coalitions de la théorie des jeux comme des cliques de la théorie des graphes ou comme des chaînes de la théorie des posets. Plus satisfaisant encore, l’utilisation de l’isomorphie des posets, donne accès à la création de classes d’équivalence. Ainsi un jeu permet être géré par les coalitions existantes sans le recalculer dans le cas d’une équivalence. Dans un cadre plus général, où les comportements stratégiques sont à choisir dans un ensemble qui n’est pas fini, nous avons à gérer l’axiome du choix via l’intervention de la notion de bel ordre qui permet de trier et même filtrer des stratégies via le traitement des comparabilités des posets. Alors certains des processus mentionnés deviennent simplement des inductions transfinies. Cette difficulté n’est donc pas insurmontable dans ce cadre et offre donc la possibilité de choisir effectivement des stratégies qui sans cela, seraient non seulement ingérables mais sans doute introuvables. L’apport de la théorie des posets à la théorie des jeux consiste à offrir une structure de traitement et cette dernière peut ensuite dans certains cas être interprétée dans la théorie des hyperstructures.