Comme l’indique, à juste titre d’ailleurs, Smith, le pointle plus mature dans la théorie des loops, c’est l’étude des Moufangloops ou des hypergroupes de Moufang. Ces derniers semblent a posterioriêtre des intermédiaires entre les groupes de Galois et les hypergroupes deMarty. De ce point de vue, ils ressemblent quelque peu aux hypergroupes trèsfins. En réalité, en brisant l’associativité les Moufang loops, commeles hypergroupes de Marty brisent la neutralité, se détachent de la structuredes groupes tout en conservant de nombreuses propriétés de ces derniers. Entermes de propriétés conservées, ils ressemblent cette fois aux hypergoupescanoniques de Mittas. Tout d’abord ils conservent eux-aussi un élément inverse(à droite et à gauche) qui vérifie naturellement : “ x , x x ^-1 = x ^-1 x= 1. Cependant la propriété suivante est encore plus caractéristique. En effet,toute paire d’un Moufang loop engendre un sousgroupe. Cette propriétéest nommée diassociativité. Elle montre d’une certaine manière que les Moufangloops tout en brisant l’associativité classique demeurent dans le fond trèsproches d’elle. Ils représentent de ce point de vue un cas critique. D’ailleursil est tout-à-fait révélateur que les hypergroupes de Moufang qui sont finis etsimples soient des groupes finis simples et ils sont donc générés par deuxgénérateurs. Quant à ceux qui ne sont pas associatifs ils sont générésseulement avec trois générateurs. Ce qui mesure en quelque sorte la différenceentre associativité et diassociativité. Mais les Moufang loops possèdentencore d’autres propriétés des groupes. Ainsi dans les Moufang loopsfinis, l’ordre d’un élément divise l’ordre du loop. Cette propriété va nonseulement dans le sens des orbites mais elle est de plus renforcée par unrésultat obtenu récemment par Grishkov et Zavarnitsine qui représente unthéorème de Lagrange pour les Moufang loops puisque l’ordre d’un subloopdivise l’ordre du loop. Ceci prouve que le schéma mental du loop esttrès proche de celui du groupe. Tandis que nous savons que dans la théorie deshypergroupes de Marty, il n’existe pas de résultat analogue sur les orbites etencore moins un théorème de type Lagrange. Cela nous permet aussi de voir de prèsque la structure de groupe est plus attachée à la neutralité et à l’inversionqu’à l’associativité puisque la généralisation des groupes via Moufang est plusproche d’eux que celle obtenue via Marty. Cela prouve aussi que cesgénéralisations dyssymétriques doivent être complétées par une généralisationplus globale avec les hypergroupes de Marty-Moufang comme nous l’avons précisédans nos articles intitulés : hypergroupes de Marty et hypergroupes deMoufang ainsi que les hypergroupes de Marty-Moufang. Cettegénéralisation semble indispensable pour se placer véritablement dans le mondenon associatif et surtout pour se détacher de manière essentielle despropriétés des groupes. Car même dans la théorie des hypergroupes, la rechercheet l’exploitation de la relation fondamentale β* est révélatrice de l’attrait que représentent les groupes.Seulement Marty et Moufang voulaient vraiment généraliser ces derniers aussil’introduction des hypergroupes de Marty-Moufang nous semble indispensable à laréalisation de ce but.