Dans une noteprécédente nous avons indiqué les revendications implicites de M. Krasner et H.S. Wall au sujet de la paternité de la découverte de la notion d’hypergroupequi est due à F. Marty. Ici nous voulons comparer les notions développées parH. S. Wall et F. Marty afin d’identifier les points de recoupement et lespoints de divergences.

La notion d’hypergroupe de H. S. Wall est basée surquatre axiomes à savoir :

      1)      Postulatdu produit : Le produit dedeux éléments de H est un complexe (dans le sens d’assemblage) de néléments de H uniquement déterminés.

      2)      Postulatde l’associativité : Si (a,b,c)sont trois éléments de H alors a(bc) = (ab)c = abc.

      3)      Postulatd’identité : Il existe aumoins un élément e dans H tel que pour tout élément a de Hles produits ae et ea contiennent tous les deux au moinsl’élément a.

      4)      Postulatde l’inverse : Il existe aumoins un élément a^-1 dans H tel que pour tout élément ade H les produits aa^-1 et a^-1acontiennent tous les deux au moins l’élément e.

Tandis que la notion d’hypergroupe de F. Marty estbasée sur uniquement deux axiomes i.e. axiome de reproduction et axiomed’associativité. Ainsi l’axiome d’associativité est présent dans les deuxnotions. Par contre le postulat d’identité et le postulat de l’inverse qui sontinterprétables en termes plus modernes comme des propriétés faibles puisqu’iln’y a pas nécessairement égalité mais intersections non vides sont totalementabsorbées dans la structure d’hypergroupe de F. Marty puisque celle-ci a unsens même en l’absence d’élément neutre et du même coup d’élément inverse.

Aussi il nereste que le postulat du produit pour différencier les deux notionsd’hypergroupe. En effet la restriction aux trois autres axiomes de H. S. Wallmontre clairement que la classe engendrée est incluse dans celle engendrée parles axiomes de F. Marty. Le postulat du produit permet d’introduire la notionde multiplicité et c’est celle-ci qui caractérise le formalisme opté par H. S.Wall. Néanmoins si les éléments sont tous différents alors à nouveau laclasse de H. S. Wall est incluse dans celle de F. Marty.

Cet ensemblede comparaisons même s’il ne peut être totalement ordonné montre la richesse dela définition de F. Marty pour créer la notion d’hypergroupe.