Δάσκαλος: Ο εγκέφαλός μας είναι φτιαγμένος για να ερεθίζεται από κάτι καινούργιο. Αυτό που κάνουμε στην κλασική παιδεία είναι ότι προσπαθούμε να μάθουμε καινούργια πράγματα, αλλά χάνουμε πάρα πολύ καιρό για να βρούμε κάτι καινούργιο. Θα σας δώσω ένα παράδειγμα. Όταν ήσασταν πιο μικροί και πιο μικρές λέγατε «εγώ έλυσα ένα puzzle που έχει εκατό κομμάτια» μετά πήγατε στα χίλια κομμάτια, πέντε χιλιάδες κομμάτια και τα λοιπά. Εμείς προσπαθούμε να βάλουμε λιγότερα κομμάτια αλλά αν μιλούσατε με τους γονείς σας δεν θα ήσασταν περήφανοι επειδή λύσατε ένα puzzle που έχει πέντε κομμάτια. Εμείς φανταστείτε ότι πρέπει να φτιάξουμε, ως μαθηματικοί, puzzles που έχουν δύο κομμάτια. Έχετε αυτά τα δύο κομμάτια (ο Δάσκαλος παίρνει δύο πεντάεδρα) και πρέπει να φτιάξετε ένα τετράεδρο. Βλέπετε ότι την πραγματικότητα αυτά τα κομμάτια είναι πεντάεδρα και είναι δύο. Η ιδέα είναι ότι ελαχιστοποιούμε το μέγεθος και μεγαλώνουμε την πολυπλοκότητα. Τους εγκεφάλους που έχουν κάτι από μέσο όρο τους συμφέρει. Άμα σας βάλω είκοσι ερωτήσεις και μόνο η δέκατη όγδοη, η δέκατη ένατη και η εικοστή είναι ενδιαφέρουσες, οι άλλες σας προκαλούν βαρεμάρα. Άμα πάτε όμως κατευθείαν, μπορεί να μην τις λύσετε επειδή οι άλλες ήταν προετοιμασία. Τώρα φανταστείτε ότι το κόβουμε και ξεκινάμε στη δέκατη όγδοη. Στο πανεπιστήμιο κάνουμε το εξής: τους λέμε «μπορείτε να κάνετε την εξεταστική κλασικά ή άμα θέλετε μπορείτε να κάνετε μόνο μία ερώτηση». Να ξέρετε ότι μερικοί κρύβουν τη μία ερώτηση, δεν θέλουν καν να τη δουν και είναι  άλλοι που πηγαίνουν κατευθείαν στη μία ερώτηση, αλλά είναι ερώτηση συνθετική και έχει όλα τα άλλα μαζί, αλλά άμα τα κατέχεις καλά το βλέπεις. Δίνω ένα άλλο παράδειγμα για να καταλάβετε που το πάω. Εδώ έχετε έναν κύβο ο οποίος αποτελείται κανονικά από 27 μονάδες. Αν το κρατάω κλειστό, μπορείτε να πείτε πόσα κομμάτια έχει; Μην λέτε όχι αμέσως, πείτε μετά από προσπάθεια μπορεί και να βρω κάτι. Μπορείτε να το βρείτε, είναι αυτό που λέμε ανακατασκευή στα μαθηματικά. Άμα το ανοίξω (ο Δάσκαλος αποσυναρμολογεί τον κύβο) και σας πω τα κομμάτια που βλέπετε έχουν τον ίδιο αριθμό κύβων, ως μονάδα;
Μαθητής: Ναι.
Δάσκαλος: Κάποιος είπε ένα ναι. Το ξαναλέω πόσα κομμάτια βλέπεις;
Μαθητής: Επτά.
Δάσκαλος: Ωραία. Άρα έχεις φτιάξει έναν κύβο. Και σου ξανακάνω την ερώτηση τώρα που ξέρεις ότι είναι επτά. Αυτά τα κομμάτια έχουν τον ίδιο αριθμό από μονάδες κύβων;
Μαθητής: Τι εννοείτε από μονάδες κύβων;
Δάσκαλος: Αυτή ήταν η ερώτηση η αρχική. Έχει ενδιαφέρον που απάντησες και τώρα ρωτάς ποια είναι η ερώτηση. Αυτό είναι καλό γιατί είναι ανάδραση. Στην πραγματικότητα η μονάδα (ο Δάσκαλος παίρνει ένα κομμάτι – μονάδα) έχει τέσσερις κύβους. Ο αρχικός κύβος- έτσι όπως τον είδατε – πόσες μονάδες είχε;
Μαθητής: Μία;
Δάσκαλος: Όχι μία.
Μαθητής: Είκοσι επτά;
Δάσκαλος: Είκοσι επτά. Όταν έχουμε είκοσι επτά και εδώ έχουμε επτά κομμάτια μπορούμε να έχουμε τον ίδιο αριθμό; Όχι. Γιατί;
Μαθητής: Δεν βγαίνουν μαθηματικά.
Δάσκαλος: Δεν είναι ότι δεν βγαίνουν μαθηματικά είναι ότι το 7 δεν διαιρεί το 27. Βγαίνει μαθηματικά αλλά βγαίνει με υποδιαίρεση. Αναγκαστικά πρέπει να βρείτε ότι ένα έχει λιγότερα από τα άλλα, τουλάχιστον. Άρα αυτό μπορούμε να το λύσουμε, χωρίς να το πιάσουμε. Αλλά άμα θέλουμε να φτιάξουμε τον κύβο, το μόνο που μπορούμε να πούμε είναι ότι είναι εφικτό με αυτήν τη δομή, αλλά δεν μας δίνει τη λύση. Αυτό άμα θέλετε να το κάνετε μετά, μπορείτε να βρείτε μία λύση αλλά εμένα αυτό που με ενδιαφέρει είναι η δεύτερη. Θα μου πείτε πώς ξέρω ότι είναι η δεύτερη. Θα το λύσετε, θα σας πω μπράβο και μετά θα σας πω θέλω τη δεύτερη. Γιατί η δεύτερη είναι πιο δύσκολη από την πρώτη. Η πρώτη έχει μία δεξαμενή έλξης όπου πέφτετε γρήγορα. Θα τη βρείτε την πρώτη ακόμα και από λάθος. Ο Θεός είναι μεγάλος, το λάθος βοηθάει. Το λάθος είναι ο πιο σύντομος τρόπος για να αλλάξετε μία μέθοδο. Το φτιάχνετε αυτό, αλλά αυτοί που το κατάλαβαν πραγματικά, μπορούν να φτιάξουν έναν άλλο, αυτοί που δεν το κατάλαβαν πραγματικά θα ξαναφτιάξουν τον ίδιο. Η δυσκολία μετά είναι ότι όταν έχετε μία μεγάλη δεξαμενή για ένα πρόβλημα, θέλει πολλή δουλειά η δεύτερη λύση. Είναι η πιο ειδική, έχει κάτι ειδικό. Φανταστείτε ότι σας λέω ότι θέλετε να κόψετε έναν δίσκο σε κομμάτια, τα οποία να  είναι ίδια και τριγωνικά. Το πρώτο πράγμα που θα σκεφτείτε είναι τρίγωνα, σχεδόν τρίγωνα, που θα είναι μέρη του δίσκου. Εμείς θέλουμε να είναι τρίγωνα που να μην έχουν καμία ευθεία γραμμή, να είναι όλα κυρτά. Αυτό είναι κυρτό (ο Δάσκαλος παίρνει ένα κομμάτι με μια κυρτή και μια ευθεία πλευρά), αλλά εδώ έχει μία ευθεία. Με αυτό μπορούμε να φτιάξουμε δομές που είναι κυρτές παντού και να αποτελούν στο τέλος έναν δίσκο; Γιατί υπάρχει μία δυσκολία; Γιατί είναι το ίδιο κομμάτι. Είδατε αυτήν τη δυσκολία; Άμα σας είχα δώσει ένα τετράγωνο να το τεμαχίσετε, είναι πιο εύκολο με ευθείες. Ο δίσκος έχει μία δυσκολία.
Θα περάσουμε τώρα σε ένα άλλο. Αυτό εδώ (ο Δάσκαλος δείχνει τα κομμάτια του 4*4*2 puzzle) φαίνεται να είναι το ίδιο με αυτό (τα κομμάτια του κύβου) αλλά αυτό (το 4*4*2 puzzle) πόσα κομμάτια έχει; Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνει ο εγκέφαλός σας είναι να βρει ποια κομμάτια είναι τα ίδια, ποια δεν είναι ίδια και γιατί εδώ φτιάχνουμε έναν κύβο, ενώ εδώ φτιάχνουμε ένα παραλληλεπίπεδο, το οποίο είναι 4*4*2. Άρα δεν είναι κύβος. Αυτό με το 4*4*2, έχει μερικά κομμάτια που είναι ίδια και μερικά που είναι διαφορετικά. Αυτό άμα θέλετε να το παράγετε εσείς, είναι ένα πρόβλημα πιο μαθηματικό, τώρα σας λέω «θέλω να έχετε τέσσερις μονάδες κυβικές και πρέπει αυτές τις τέσσερις μονάδες να τις βάλετε όπως θέλετε για να φτιάξετε μία νέα δομή. Πόσες δομές μπορείτε να φτιάξετε;» Βλέπετε τη διαφορά; Το άλλο (ο Δάσκαλος δείχνει τον κύβο) είναι σαν τη δουλειά του χασάπη, γιατί παίρνω έναν κύβο και τον κόβω. Εδώ (4*4*2 puzzle) κάνω τον φούρναρη, ο φούρναρης συνθέτει. Εδώ είναι μία σύνθεση. Δεν σας δείχνω καθόλου τα κομμάτια και σας λέω «αυτό που έχω εδώ μπορείτε να το βρείτε μόνοι σας παράγοντας όλες τις δομές που έχουν τέσσερις μονάδες κυβικές». Αυτό που έχει ενδιαφέρον μαθηματικά είναι, όπως το βλέπετε, ότι θα βρείτε οχτώ. Επειδή είναι οχτώ και το καθένα έχει τέσσερα, θέλει να πει ότι είναι στο τριάντα δύο. Άρα το 4*4*2 όπως έλεγες μαθηματικά βγαίνει, αλλά πρέπει να είμαστε προσεκτικοί, μπορεί  αριθμητικά να βγαίνει και γεωμετρικά να μη βγαίνει. Βλέπετε τη διαφορά; Άλλο να έχεις ένα κλάσμα και άλλο να έχεις μία δομή.
Εδώ παίρνω ένα άλλο παράδειγμα το λ-puzzle, άρα έχετε αυτή τη μονάδα, την έχετε τέσσερις φορές, δεν έχει καμία δυσκολία, είναι το ίδιο. Για τις κοπέλες που έχουν συνήθως πιο λεπτά χέρια, μπορείτε να κάνετε αυτό (ο Δάσκαλος δείχνει το λ-puzzle 2) το οποίο αποφεύγουμε να δίνουμε στους άντρες. Άρα έχετε μία σκληρή δομή (ο Δάσκαλος δείχνει το πλαίσιο) και πρέπει να μπει εδώ μέσα. και τέσσερις σκληρές δομές (τα κομμάτια του λ puzzle) που πρέπει να μπουν εδώ μέσα. Πρέπει να βρείτε τι μπορεί να είναι μαλακό. Το μαλακό είναι η τοποθέτηση. Θα βάλετε τα κομμάτια, αλλά δεν πρέπει να υπάρχει επικάλυψη. Μπορείτε να τα  βάζετε όπως θέλετε. Το κλασικό, που έχετε την τάση να σκέφτεστε, είναι «θα το βάλω έτσι ώστε να γεμίσω όλες τις τρύπες» . Εδώ είναι λάθος γιατί δεν γίνεται.  Θα πάρουμε ένα πράγμα που δεν γεμίζει εντελώς και πρέπει να διαχειριστείτε τις τρύπες. Οι τρύπες είναι το μαλακό. Αυτά τα σκληρά θα είναι οι δομές που δεν μπορείτε να αλλάξετε. Το θέμα είναι πώς τα βάζετε σε ένα χώρο. Υπάρχουν άνθρωποι που όταν παίρνουν οι βαλίτσες και πρέπει να τις βάλουν σε ένα πορτμπαγκάζ, τις βάζουν και χωράνε όλες. Υπάρχει ένας άλλος άνθρωπος που αν θα τις βγάλει, του λες βάλτες και δεν μπαίνουν και μάλιστα  μένουν και δύο βαλίτσες έξω.  Αυτό έχει να κάνει με την χωροαντιληπτική. Όλοι έχουν μία χωροαντιληπτική και έναν εγκέφαλο που λειτουργεί μαθηματικά, ακόμα και οι φιλόλογοι, απλώς δεν το χρησιμοποιούν με τον ίδιο τρόπο. Αυτό λοιπόν που έχει ενδιαφέρον είναι πως θα δείτε σε τρεις διαστάσεις.
Εδώ έχετε ένα πράγμα που είναι λίγο πιο κλασικό, έχετε ένα pentomino σε δύο διαστάσεις και όλα τα domino που έχετε είναι πέντε μονάδες και επειδή είναι δώδεκα μπορείτε να κάνετε αυτή την κατασκευή. Για αυτούς που βαριούνται, σας προτείνω να κάνετε αυτό, έτσι ώστε κάθε κομμάτι που είναι μέσα να έχει ένα κομμάτι που ακουμπάει την άκρη. Στη λύση που βλέπετε εδώ μπροστά σας, βλέπετε ότι αυτό το τεμάχιο δεν ακουμπάει έξω. Μπορείτε να βρείτε μία άλλη λύση έτσι ώστε κάθε κομμάτι να ακουμπάει την άκρη. Είναι πιο δύσκολο, για πρώτη φορά δεν το συνιστώ.
Όταν ήσασταν μικροί και μικρές φαντάζομαι ότι είχατε κάνει tangram. Αυτό το puzzle είναι λιγότερο εύκολο γιατί τα κομμάτια είναι σχεδόν όλα τα ίδια και η περίμετρος δεν βοηθάει πάρα πολύ. Αυτό είναι πολύ καλό για αυτούς που διαχειρίζονται τη χωροαντιληπτική σε δύο διαστάσεις, δεν είναι ακριβώς το ίδιο με τρεις διαστάσεις. Σε δύο διαστάσεις φαίνεται να είναι πιο εύκολο όταν οι δομές είναι πολύ διακριτές. Όταν οι δομές σχεδόν μοιάζουν, σχεδόν όλα μοιάζουν. Αυτό τι σημαίνει. Πάνω-κάτω τα βάζετε όλα καλά στην αρχή και κάθε φορά υπάρχει ένα που δεν χωράει. Τα ξαναβγάζετε από την αρχή, τα ξαναβάζετε σχεδόν όλα καλά, λέτε «το πετυχαίνω, το βλέπω» μετά ξανά υπάρχει ένα που είναι έξω και μετά λέτε «δεν θα το κάνω έτσι, πρέπει να σκεφτώ πρώτα ποιο θα βάλω πού».
Ένα πιο κλασικό που δεν έχει μία ιδιαίτερη δυσκολία, αλλά είναι ενδιαφέρον γιατί είναι ιστορικό, είναι το «Στομάχι του Αρχιμήδη». Το στομάχι δεν είναι φτιαγμένο για να κάνουμε ένα puzzle, είναι φτιαγμένο για το εξής πρόβλημα, το οποίο το λύσαμε πολύ πρόσφατα, μετά το 2007. Παίρνετε αυτά τα κομμάτια, τα βάζετε όπως θέλετε και η ιδέα είναι πόσες διαφορετικές τοποθετήσεις μπορείτε να φτιάξετε. Είναι πάνω από 17.000. Χρειαστήκαμε ακόμα και υπολογιστές για να κάνουμε κάτι που φαίνεται απλό. Αλλά το θέμα είναι ότι είναι τόσο απλό, που είναι δύσκολο γιατί άμα προσέξετε, βλέπετε ότι εδώ κόβεται στα δύο και έχει μία διαγώνια και η τεμάχιση από αυτό το τρίγωνο ενσωματώνει τρεις δομές. Αυτό φαίνεται να είναι εύκολο, αλλά είναι τόσο «εύκολο» που για να το ξαναβρείτε, ενώ έχετε μετακινήσει τα τρίγωνα, παιδεύεστε πάρα πολύ, γιατί ο εγκέφαλος παιδεύεται πάντα, εκτός αν έχετε κινητό και βγάλετε τη φωτογραφία τώρα, πριν το ανακατέψω και εκτός αν έχετε φωτογραφική μνήμη.
Ένα άλλο puzzle, βλέπετε ότι είναι αυτοαναφορικό, είναι το brain puzzle. Κανονικά όταν κάνετε ένα κλασικό puzzle, κάνετε πρώτα τις γωνίες και μετά κάνετε τις πλευρές και μετά γεμίζετε. Μιλάω όταν δεν έχετε την εικόνα δίπλα. Εδώ το πρώτο πρόβλημα που υπάρχει είναι ότι θα το βγάλω όλο από το πλαίσιο, δεν βοηθάει. Ποια γωνία να πιάσεις. Η ιδέα είναι να φτιάξουμε ένα puzzle που δεν έχει γωνίες και δεν έχει ευθείες, άρα μπαίνεις κατευθείαν στη δυσκολία. Είναι πολλοί από σας που μπορεί να θεωρούν ότι είναι πολύ καλοί στα puzzles. Όταν θέλετε να δείτε αν είστε καλοί στο puzzle, παίρνετε ένα κανονικό puzzle με μία ζωγραφιά, το βάζετε ανάποδα και ξανακάνετε το puzzle. Αυτό είναι θανατηφόρο, γιατί στην πραγματικότητα έχετε την εντύπωση ότι το κάνετε εύκολα, επειδή βλέπετε πολλά πράγματα που συνδέονται, ενώ άμα το κάνετε ανάποδα, συνδέονται μόνο οι δομές χωρίς εικόνα, είναι πολύ πιο δύσκολο. Έχετε λύσει ποτέ ένα puzzle χωρίς να βλέπετε την εικόνα του, ακόμα και με 100 κομμάτια,  και μετά λες «θα πάρω ένα με 10.000 κομμάτια που να βλέπω». Έχει μεγάλη σημασία τι βλέπουν τα δάχτυλά σας και τι βλέπει το μάτι σας. Βλέπουμε αυτό που καταλαβαίνουμε αλλιώς, μόνο το κοιτάζουμε. Βλέπετε τη διαφορά μεταξύ κοιτάζω και βλέπω; Υπάρχει και το Hexomino, είναι το ανάλογο από το Pentomino, αλλά να θυμάστε ότι υπάρχει μία τρύπα, άμα δεν θυμάστε την τρύπα, μπορεί να πεθάνετε πάνω σε αυτό το puzzle  και να το βάλετε πάνω στην ταφόπλακα σας, δηλαδή  «δεν το έλυσα».
Εδώ έχουμε ένα ανάλογο από κάτι που είναι πολύ απλό, φαντάζομαι ότι όλοι θυμάστε το θεώρημα του Πυθαγόρα, είναι μία ωραία απόδειξη και φτιάχνουμε με αυτά τα τεμάχια ακριβώς το ίδιο πλαίσιο. Η ιδέα είναι πως όταν το λύνετε αυτό, έχετε μία απόδειξη του θεωρήματος του Πυθαγόρα. Υπάρχει κάποιος που ξέρει μία απόδειξη ή απλώς ξέρει το θεώρημα; Βλέπετε τη διαφορά του να ξέρεις την απόδειξη ή το θεώρημα. Πάρτε ένα παράδειγμα με τη μαγειρική: μπορεί να ξέρετε ένα γεύμα αλλά δεν ξέρετε να το φτιάχνετε. Εδώ είναι το ίδιο.
Αυτό εδώ μπορείτε να το παίξετε μόνοι σας αλλά συμφέρει να είμαστε δύο, αυτό είναι το Frank game. Bλέπετε ότι είναι φτιαγμένο σε ένα εξάγωνο, είναι για δύο παίκτες αλλά μπορείτε να το παίξετε και μόνος. Έχετε λαστιχάκια από δύο χρώματα, τα βάζετε εναλλάξ και πρέπει να το συμπληρώσετε, να βάλετε δεκατέσσερα λαστιχάκια χωρίς να έχετε φτιάξει ένα μονόχρωμο τρίγωνο. Άμα είναι από τα δύο χρώματα δεν μας πειράζει. Εδώ τη βλέπετε τη δυσκολία ή όχι; Για να καταλάβετε ότι υπάρχει δυσκολία, πείτε ότι σας βάζω δεκαπέντε λαστιχάκια. Δεν γίνεται. Εδώ ο εγκέφαλός σας λέει «γιατί να μη γίνεται με δεκαπέντε». Είναι λόγω του θεωρήματος του Ramsey (1931). Αυτό δεν μας ενδιαφέρει γιατί έχουμε πάει λίγο πιο κάτω, άρα με δεκατέσσερα γίνεται. Μπορείτε να παίξετε λοιπόν μόνοι σας ή να είστε δύο και να παίζετε συνεργατικά – το συνιστώ στην αρχή – ή επιθετικά, δηλαδή εσείς να αναγκάσετε τον άλλον να κάνει τρίγωνο μονόχρωμο. Άρα βάζετε τα λαστιχάκια σε τοποθεσίες που τον δυσκολεύουν να μην κάνει τρίγωνο, ενώ όταν είναι συνεργατικό, ξέρετε ότι το πιο πιθανό είναι την πρώτη φορά που θα το κάνετε συνεργατικά ο ένας θα χάσει από τον άλλον, ενώ είναι ομάδα, γιατί από λάθος θα το κάνει.
Εδώ πάλι στο ίδιο πλαίσιο (Frank Game K 8), απλώς εδώ έχουμε τρεις παίκτες. Όταν έχουμε τρεις παίκτες στα στρατηγικά παίγνια υπάρχει μία δυσκολία. Το φυσικό είναι κάποιοι να συνεργάζονται εναντίον του άλλου. Εδώ επειδή είναι λίγο περίπλοκο, παρόλο που δεν φαίνεται, στο τέλος ξεχνάνε τη συνεργασία και ο άλλος σου λέει «καλά δεν είπαμε να μην το βάλεις εδώ» και λες «μα δεν μπορώ να το βάλω αλλού». Αυτό είναι με τρεις παίκτες, συνεργατικό ή όχι.
Αυτό το πρόβλημα λέγεται πρόβλημα Kolakoski. Εμένα μου αρέσουν τα πολύ απλά προβλήματα, που είναι πολύπλοκα στην επίλυση. Εδώ έχουμε ένα αλφάβητο που έχει μόνο δύο γράμματα. Θα μου πείτε με δύο γράμματα πόσο δύσκολο μπορεί να είναι. Το θέμα ότι είναι αυτά τα δύο γράμματα 0 και 1. Το κάνω αργά γιατί μετά όταν θα το λύσω, θα πείτε «πού ήταν το πρόβλημα» αλλά μετά θα πρέπει να σκεφτείτε πώς το λύσαμε. Θα κάνω μια λωρίδα. Αυτό ανήκει στη θεωρία λέξεων, είναι μέσα στη συνδιαστική. Θα έχω μια λωρίδα η οποία θα είναι ανοιχτή. Θέλω να συμπληρώσω τη λωρίδα χρησιμοποιώντας μόνο 0 και 1. Όταν θα γράψω 0 και 1, το 0 και 1 θα μου πει τι πρέπει να κάνω. Άμα έγραφα μόνο 0 και 1, μπορεί να μη βλέπετε το πρόβλημα, αλλά θα το μετατρέψω σε 1, 2. Το 1, 2 θα προκαλέσει πολλά προβλήματα και το πιο ενδιαφέρον είναι ότι ενώ όταν ξεκινήσουμε θα φαίνεται εντελώς αυθαίρετο, άμα το αλλάξουμε, εγώ θα βάλω 2 εδώ (στο πρώτο τετράγωνο), θα βρούμε μία παγκοσμιότητα. Δηλαδή και να το αλλάξω, θα ξαναβρούμε μία λέξη. Αυτή η λέξη λέγεται Kolakoski, γιατί είναι ο πρώτος που τη βρήκε. Θα πάω όσο πιο αργά γίνεται, ακόμα και αν γίνω βαρετός, γιατί είμαι σίγουρος ότι κάποιος θα πει «ξαναπείτε το».
2
Το 2 λέει ότι το πρώτο block πρέπει να έχει μήκος 2. Άρα ο αριθμός που πρέπει να βάλω εδώ (στο δεύτερο τετράγωνο)  αναγκαστικά είναι 2.
2 2
Ο αριθμός 2 εδώ, λέει ότι το δεύτερο block πρέπει να έχει μήκος 2.  Άρα τι γράφω μετά;
Μαθητής: 2.
Δάσκαλος: 1. Ξεχάσατε ότι αν έχω 2 ξανά, θα έχω ένα block μήκος 4.  Πρέπει να αλλάζω τους αριθμούς για να μπορώ να μετράω ένα μήκος.
2 2 1 1
Το 2 που βλέπετε εδώ (ο Δάσκαλος δείχνει τα δυάρια) είναι και εδώ (ο Δάσκαλος δείχνει μαζί τα δυο τετράγωνα με τον αριθμό 1 στην πρώτη γραμμή). Μετά βάζω 2.
2 2 1 1 2
2 2 1
Μετά πρέπει να βάλω 1. Γιατί άμα έβαζα 2 θα είχα μήκος 2.
2 2 1 1 2 1
2 2 1 1

Ξαναλέω λοιπόν, μπορούμε να πούμε ότι η κάτω γραμμή είναι το συντακτικό και η πρώτη γραμμή  είναι η σημασία.  Το ένα μου λέει για τη θέση και το μήκος και το άλλο μου λέει την τιμή που είναι μέσα. Εδώ σας έχω αποδείξει ότι ενώ δεν έχω καμία πληροφορία, το φτιάχνω. Αυτό σημαίνει ότι το πάνω μέρος είναι η κότα και το κάτω είναι το αυγό. Το παράδοξο που έχετε με την κότα και το αυγό είναι ότι πολύ συχνά λέτε «ποιος είναι πρώτα η κότα ή το αυγό». Άρα κάνετε ένα λάθος μαθηματικό, είναι ότι  το αυγό και η κότα είναι μία τάξη, μία κλάση, δεν είναι ένα. Εσείς λέτε τι είναι πριν, το αυγό η κότα και βλέπετε μόνο δύο στοιχεία. Πριν από αυτό το αυγό είναι η άλλη κότα, το άλλο αυγό. Αυτό είναι που κάνουμε εδώ. Αυτό λύνει το παράδοξο της κότας και του αυγού. Θα μου πείτε «για να το λύσω έπρεπε να καταλάβω τι λέει».
Εδώ άρχισα με το 2. Στην επόμενη λωρίδα ξεκινάω με το 1. Άρα το μήκος είναι 1, που σημαίνει ότι δεν δίνω καμία πληροφορία για το διπλανό. Επειδή δεν δίνω καμία πληροφορία για το διπλανό, ο διπλανός είναι διαφορετικός, άρα είναι 2. Δεν ξέρω αν το βλέπετε, από το 2 και μετά θα γράψω τον ίδιο αριθμό με την προηγούμενη λωρίδα. Αυτό είν’ απίστευτο. Ο αριθμός στην πρώτη λωρίδα λέγεται Wk και στη δεύτερη λωρίδα 1Wk.  Ακόμα και αν αλλάζω το πρώτο, ξαναεμφανίζεται η λέξη. Αυτό δεν το είχαμε εντοπίσει, νομίζαμε ότι ανάλογα με κάτι σαν αρχικές συνθήκες, βγαίνει ό,τι να ‘ναι. Ακόμα και αν βάλεις ό,τι να ‘ναι στην αρχή, ξαναεμφανίζεται μια λέξη, η ίδια.
Τώρα κάνουμε το ίδιο με 1 και 3.
1 3
Θα πρέπει να καταλάβετε ότι όταν έχετε κάνετε με Δασκάλους που ασχολούνται με τον εγκέφαλο, έχει μεγάλη σημασία ότι την ώρα που σας κοιτάζουν και σας βλέπουν και σας αναλύουν. Θα σας δώσω τεχνικές για τους γονείς σας. Οι γονείς που είναι πιο μεγάλοι δεν θα ξέρουν. Σας δίνω ένα παράδειγμα. Κάνετε μια ερώτηση σε κάποιον και του λέτε «μπορείς να βρεις τη λύση;» και τον βλέπετε να κοιτάζει πάνω δεξιά. Αυτό δείχνει ότι ψάχνει. Σας το λέω για να κοιτάτε πάνω δεξιά και να δίνετε την εντύπωση στους καθηγητές ότι ψάχνετε.  Όταν κοιτάς πάνω αριστερά είναι ότι θες να κάνεις εντύπωση. Είμαι σίγουρος ότι σε αυτό το σχολείο ποτέ κανένας δεν έχει πει ψέματα στη ζωή του, μιλάμε για τα άλλα σχολεία. Όταν λέτε το ψέμα γρήγορα σας φεύγει το πάνω αριστερά βλέμμα. Γιατί προσπαθείς και μετά μπερδεύεσαι και το ξανακάνεις από την άλλη. Ο εγκέφαλος σας είναι πιο έξυπνος από ό,τι πιστεύετε, όποιο επίπεδο και να έχετε, είναι ακόμα πιο έξυπνος. Απλώς εσείς τον υπολειτουργείτε, παρόλο που μπορεί να είστε και ψωνάρα. Ακόμα και αυτός που είναι ψωνάρα και αυτός τον υπολειτουργεί γιατί νομίζει απλώς ότι είναι καλύτερος από τους άλλους, αλλά οι άλλοι είναι πολύ πιο κάτω. Το ξαναλέω  απλά:  ας πούμε ότι έχετε κάποιον ο οποίος εύκολα μπορεί να πάρει 20 στα 20 και όλοι οι άλλοι παίρνουν 2 στα 20. Αυτός στα 3 είναι ο καλύτερος . Όλοι ξέρουν ότι είναι το 20, αλλά δεν πειράζει. Σε όλα αυτά τα puzzle άμα είστε ο καλύτερος δεν έχει νόημα, πρέπει απλώς να το λύσετε. Δεν μπορείτε να πείτε  «σε αυτό το πρόβλημα είμαι πιο κοντά από σένα στη λύση» γιατί ο άλλος θα σου πει «ποια είναι η λύση». Δεν υπάρχει πιο κοντά, υπάρχει  0 και 1. Δεν τη βρήκες σε δύο λεπτά, δεν τη  βρήκες σε 20 λεπτά, δεν τη βρήκες σε 2 χρόνια.
Ένας μαθηματικός είχε λύσει ένα πρόβλημα, είχε κάνει πολύ καιρό να το βρει. Ενώ η μάνα του καθάριζε το δωμάτιό του,  έπεσε η λύση. Η μάνα του δεν ξέρει ότι το πρόβλημα είναι δύσκολο,  ξαναμαζεύει τα κομμάτια και λέει «εντάξει, το κατάφερα».  Η λύση της μάνας δεν ήταν η λύση. Η μάνα είχε βρει μια άλλη λύση. Ποιο είναι το πρόβλημα: η  μάνα του δεν ήταν μαθηματικός ενώ αυτός ήταν μαθηματικός και ερευνητής και αναρωτήθηκε «καλά η μάνα μου πως το βρήκε». Η διαφορά είναι ότι αυτός δεν ήξερε αν υπάρχει λύση, ενώ η μάνα του, την είδε. Άρα δεν σπατάλησε χρόνο ο εγκέφαλος της «αν υπάρχει ή δεν υπάρχει, πώς θα το βρω, είναι μια εικασία» και επειδή είχε μία εικόνα, πάνω-κάτω άλλαξε μερικά κομμάτια και βρήκε μία άλλη. Αυτός δεν είχε σκεφτεί καν ότι υπάρχει δεύτερη λύση. Στη δημοσίευση έβαλε και τη μάνα του.  Να ξέρετε ότι όταν οι μαμάδες να συγυρίζουν το δωμάτιό σας, αν είστε μαθηματικός συμφέρει, αν δεν είστε δεν συμφέρει.