Dans le cadre de sa recherche sur la circonférence du cercle via son encadrement à l’aide de polygones inscrits et circonscrits, Archimède s’intéresse plus généralement à l’approximation d’une surface qui a une courbure comme un cône ou un cylindre grâce à des pyramides et des prismes qui sont linéaires. Ainsi à l’aide de l’établissement de six propriétés élémentaires, il parvient au corollaire suivant :

« Ces propriétés étant démontrées il est évident, [subséquemment, à ce qui a été dit plus haut], que, si l’on inscrit dans un cône isocèle une pyramide, l’aire de la pyramide sans la base est intérieure à l’aire du cône [du fait que chacun des triangles limitant la pyramide a une aire inférieure à celle de la surface conique comprise entre les côtés du triangle, d’où il suit que la surface totale de la pyramide sans la base a une aire inférieure à celle de la surface du cône sans la base], et que, si on circonscrit à un cône isocèle une pyramide, la surface de la pyramide sauf la base a une aire supérieure à celle de la surface du cône sans la base [en vertu de la proposition qui suit la proposition ci-dessus] »

Il est nécessaire de se rendre compte de la nécessité de l’exactitude de ce corollaire sinon nous risquons de le considérer comme trivial. En effet, la démonstration d’Archimède se base, entre autres, sur la notion de convexité via celle de symétrie. Sans la convexité, il serait possible d’inscrire un objet pyramidal dont la surface sans compter sa base sera plus grande que celle du cône. Archimède considère une base triangulaire afin d’exploiter ses résultats au niveau des deux dimensions, sur les polygones inscrits dans le cercle. Cependant si nous considérons des bases alors l’inégalité sur les surfaces peut-être inverses, et il en est de même pour les longueurs dans le plan. C’est en conservant cela à l’esprit qu’il faut lire aussi le second corollaire suivant :

« Mais ce qu’il a été démontré rend évidentes deux autres propriétés. Si, d’une part, on inscrit dans un cylindre droit un prisme, l’aire du prisme, composée d’aires de parallélogrammes, est inférieure à l’aire du cylindre sans la base [du fait que chaque parallélogramme du prisme a une aire inférieure à celle de la surface du cylindre interceptée par lui ; si, d’autre part, à un cylindre droit ont circonscrit un prisme, la surface du prisme, composée de parallélogrammes, a une aire plus grande que celle de la surface du cylindre sans la base. »

Ces corollaires sont nécessaires à la mise en place de la méthode d’Archimède sur l’encadrement planaire du cône et du cylindre afin d’obtenir leur surface via la généralisation de sa méthode sur le cercle. Il s’agit donc d’une approche numérique dont le but ultime via le passage à la limite, est la formule exacte.