1. Si on circonscrit un polygone à un cercle, le périmètre du polygone circonscrit est plus grand que le périmètre du cercle.

Cette première étape permet à Archimède d’établir le substrat de son raisonnement sur l’approximation de la circonférence du cercle et par conséquent sur la valeur de la constante pi.

2. Deux grandeurs inégales étant données, il est possible de trouver deux segments de droite inégaux de manière que le plus grand segment est au plus petit un rapport inférieur à celui qu’à la plus grande des deux grandes à la plus petite.
Par cet intermédiaire technique, Archimède exploite la proposition 2 du premier tome des Eléments d’Euclide.

3. Etant donné deux grandeurs inégales et un cercle, il est possible d’inscrire dans le cercle un polygone et de lui en circonscrire un autre de manière que le côté du polygone circonscrit ait du côté du polygone inscrit un rapport inférieur à celui de la plus grande des deux grandeurs à la plus petite.

Ce troisième point représente l’application du second qui ne semble plus artificiel dans le cadre de la recherche sur la circonférence du cercle. Cela permet d’encadrer le cercle à l’aide de deux polygones mais aussi d’initialiser deux suites de polygones, croissante et décroissante afin d’obtenir une convergence qui tende vers la circonférence du cercle.

4. Etant donnés, de nouveau, deux grandeurs inégales et un secteur de cercle, il est possible de circonscrire au secteur un polygone et de lui en inscrire un autre de façon que le rapport qu’à le coté du polygone circonscrit au côté du polygone inscrit soit inférieur au rapport de la plus grande des deux grandeurs à la plus petite.

L’avantage de considérer le secteur de cercle c’est que cela autorise l’emploi de polygones réguliers pour l’encadrement convergent, en raison de la symétrie de la structure géométrique.

5. Etant donnés un cercle et deux grandeurs inégales, circonscrire au cercle un polygone et lui en inscrire un autre, de manière que le rapport du polygone circonscrit au polygone inscrit soit inférieur au rapport de la plus grande de grandeurs à la plus petite.

Voilà cette fois la mise en place du complexe de l’encadrement est effective.

6. Nous démontrerons de la même manière que deux grandeurs inégales et un secteur de cercle étant donnés, il est possible de circonscrire au secteur un polygone et d’y inscrire un autre, semblable au premier, de manière que le rapport du polygone circonscrit au polygone inscrit soit inférieur au rapport de la plus grande des deux grandeurs à la plus petite.

Grâce à ces points, Archimède dispose de tous les éléments pour mettre sa méthode en place.